2001数1 -

2001年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学一试题详解及评析

一、

填空题

(1)设y?ex?c1sinx?c2cosx?（c1,c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同解，则该方程为 . 【答】 y''?2y'?2y?0.

【详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为?1,2?1?i，从而特征方程为

????1?i??,

????1?i????2?2??2?0,于是所求方程为y''?2y'?2y?0.

方法二 将已知解代入y''?by'?cy?0，得

exsinx??b?c1?c2??cc1?2c2??excosx??b?c1?c2??cc2?2c1?.由于exsixn与

excosx线性无关，故b?c1?c2??cc1?2c2,b?c1?c2??cc2??2c1，解得b??2,c?2

显然解法2较解法1麻烦. 方法三、由通解y?ex?c1sinx?c2cosx?，求得

xy'?ex??c1?c2?sinx??c1?c2?cosx?y?e??2c2sinx?2c1cosx?''

从这三个式子消去c1与c2，得y?2y?2y?0 （2）设r?【答】

'''x2?y2?z2,则div?gradr?|?1,?2,2?? . 2. 3【详解】 根据定义有

gradr??r?r?rxyzi?j?k?i?j?k?x?y?zrrr ?x??y??z??????????2222r2?z22r22r?r?r?r?xr?y???div?gradr????????3?333?x?y?zrrrrr于是 div?gradr?|?1,?2,2??212???2??222?2 3(3)交换二次积分的积分次序：【答】

?0?1dy?1?y2f?x,y?dx? . ?21dx?1?x0f?x,y?dy.

【详解】 因为

?0?1dy?1?y2f?x,y?dx???dy??1021?yf?x,y?dx,

积分区域为 D?又可将D改写为

??x,y?|?1?y?0,1?y?x?2?,

D???x,y?|1?x?2,1?x?y?2?,

于是有

?0?1dy?1?y2f?x,y?dx???dy??1210021?yf?x,y?dx???dx?f?x,y?dy1?x20 ??dx?21?x

f?x,y?dy?1(4)设矩阵A满足A?A?4E?O,其中E为单位矩阵，则?A?E?＝ . 【答】

1?A?2E?. 22【答】 由题设，A?A?4E?O， 有 A?A?2E?2E， ?A?E??A?2E ,??2E21?A?2E??E, 21?1故 ?A?E?＝?A?2E?

2也即 ?A?E??（5）设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计PX?E?X??2? . 【答】

??1. 2【详解】 根据切比雪夫不等式有

PX?E?X??2???D?X?1? 222

二、选择题

（1）设函数f?x?在定义域内可导，y?f?x?的图形如右图所示，则导函数y?f'?x?的图形为

【 】

【答】应选（D）

【详解】 从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y?f?x?是严格单调增加的，因此当x?0时，一定有f'，（C）； ?x??0对应y?f'?x?图形必在x轴的上方，由此可排除（A）

'又y?f?x?的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数y?f形在y轴一定有两个零点，进一步可排除（B）. 故正确答案为（D）.

（2）设函数f?x,y?在点?0,0?附近有定义，且f（A）dz'x?x?图

?0,0??3,f'y?0,0??1，则

|?0,0??3dx?dy.

（B）曲面z?f?x,y?在点0,0,f?0,0?的法向量为?3,1,1? （C）曲线????z?f?x,y?在点?0,0,f?0,0??的切向量为?1,0,3?

?y?0（D）曲线??z?f?x,y?在点?0,0,f?0,0??的切向量为?3,0,1?

?y?0【 】

【答】 应选（C）

【详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）； 至于（B），（C）,(D)则需要通过具体的计算才能进行区分， 令F?x,y,z??z?f?x,y?，则有

F'x??f'x,F'y??f'y,F'z?1

因此过点0,0,f?0,0?的法向量为???3,?1,1； ?，可排除（B）

???x?x?z?f?x,y??y?0，其中点?0,0,f?0,0??的切向量为曲线点?可表示为参数形式：?y?0??z?f?x,0????1,0,f'x?0,0?????1,0,3?

故正确选项为（C）.

（3）设f?0??0，则f?x?在点x?0可导的充要条件为

11f1?coshlimf?1?eh?存在. 存在. （B）??2h?0hh?0h11f?2h??f?h??（C）lim2f?h?sinh?存在. （D）lim??存在 h?0hh?0h?（A）lim【 】

【答】 应选（B）. 【详解】 因为

limf?x?1x f?1?eh?1?eh?xlim?h?0hx?0xln?1?x?1f?1?eh?一定存在；反过来，若h?0h可见，若f?x?在点x?0可导，则极限limlim1f?1?eh?存在，则 h?0hhhf1?ef1?e????f?x?hh limx?1?elim???limx?0h?0h?0xh1?ehh存在，即f?x?在点x?0可导，因此正确选项为（B）.

至于（A），（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如，f?x??x,在

x?0处不可导，但

1?cosh11?cosh1lim2f?1?cosh??lim?lim?h?0hh?0h?0h2h22

h?sinh11?sinhlim2f?h?sinh??lim?lim?h?023h?0hh?0h?0hh均存在，可排除（A）、（C）.

又如f?x????1,x?0在x?0处不可导，但

0,x?0?11?1lim?f2h?fh?lim??????h?0h?0 h?0h?存在，进一步可排除（D）.

?1?1（4）设A???1??1111111111??4?01??,B???01???1??0000000000?0??，则A与B 0??0?（A）合同且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）不合同且不相似

【 】

【答】 应选(A) 【详解】 因为

A是实对称矩阵，且其特征值为：?1?4,?2??3??4?0,故存在正交矩阵Q,使得

?4?0 Q?1AQ?QTAQ???0??0可见，则A与B既合同又相似.

000000000?0?? 0??0?(5)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于

（A）-1 （B）0 （C）

1 （D）1 2【 】

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