2014-2015学年上海市实验学校高一(下)期中数学试卷 (解析版)(4)

【解答】解（1）A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }

＝{α|（2cos α﹣1）（cos α﹣1）≤0，α∈R }

＝{α|12≤cos α≤1，α∈R } ＝{α|2k π?π3≤α≤2k π+π3，α∈R }，

B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }＝{α|sin α＞0}＝{α|2k π＜α＜2k π+π}，

∴A ∩B ＝{α|2k π＜α≤2k π+π3，k ∈Z }，

（2）由cos2x ?4sin(π4+x 2)sin(π4?x 2)+m ＞0

?cos2x ﹣4sin （π4

+x 2）cos （π4+x 2）+m ＞0 ?cos2x ﹣2sin （π2+x ）+m ＞0

?cos2x ﹣2cos x +m ＞0

?2cos 2x ﹣1﹣2cos x +m ＞0

?m ＞32?2（cos x ?12）2

∴若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x ?4sin(π4+x 2)sin(π4?x 2)+m ＞0恒成立，

即对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32?2（cos x ?12）2恒成立，

∵x ∈（2k π，2k π+π3]，∴cos x ∈[12，1），

∴0≤2（cos x ?12）2≤12

， ∴m ＞3

2

．

【点评】本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．

四、附加题（本大题共2小题，满分20分）

19．（10分）已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA

+

1cosC

=?

√2

cosB ，求cos A?C 2

的值．

【分析】先根据A ，B ，C 的关系求出B 的值，再代入到

1cosA

+

1

cosC =?

√2

cosB

中得到cos A ，cos C 的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos A+C

2

，cos （A +C ）的值代入

整理后因式分解，即可求出cos A?C

2的值． 解：A +C ＝π﹣B ＝2B ， ∴B ＝60°，A +C ＝120°． ∵?√2cos60°

=?2√2，

∴

1cosA

+

1cosC

=?2√2

将上式化为cosA +cosC =?2√2cosAcosC

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos A+C 2cos A?C

2=?√2[cos(A +C)+cos(A ?C)]

将cos A+C

2=cos60°=1

2，cos(A +C)=?1

2代入上式得cos(A?C

2)=√2

2?√2cos(A ?C) 将cos(A ?C)=2cos 2(A?C 2)?1代入上式并整理得4√2cos 2(A?C 2)+2cos(A?C

2

)?3√2=0(2cos

A?C 2?√2)(2√2cos A?C

2+3)=0， ∵2√2cos A?C

2+3≠0， ∴2cos A?C

2?√2=0． 从而得cos A?C

2=√2

2．

【点评】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．

20．（10分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tan B=

cos(C?B) sinA+sin(C?B)，

（1）判断△ABC的形状，并加以证明；

（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1

bc表示成y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，

当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．

【分析】（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．

（2）由题意及（1）可得：A=π

2，由正弦定理可解得b＝2sin x，c＝2cos x，从而可得y=

b+c+1

bc

=

2(sinx+cosx)+1

4sinxcosx，(0＜x＜π

2 )．

设sin x+cos x＝t，y=2t+1

2t2?2

，设u＝2t+1，t=

u?1

2，y=

2u

u2?2u?3

=2

u?3u?2

，由x的范围，

可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解：（1）△ABC是直角三角形．

证明：由已知得：sinB

cosB =

cos(C?B) sinA+sin(C?B)

，

∴sin A sin B+sin B sin（C﹣B）＝cos B cos（C﹣B），

移项，逆用两角和的余弦公式得：sin A sin B＝cos C，∵在△ABC中，cos C＝﹣cos（A+B），

∴sin A sin B＝﹣cos（A+B），

∴cos A cos B＝0，

∴cos A＝0或cos B＝0（舍去），

∴△ABC是直角三角形．

（2）∵当a＝2，∠B＝x时，由（1）可得：A=π

2，由正弦定理可得：2=

b

sinx

=c sinC，sin C

＝cos x．

∴解得：b＝2sin x，c＝2cos x，

∴y=b+c+1

bc

=2(sinx+cosx)+1

4sinxcosx，(0＜x＜

π

2

)．

设sin x+cos x＝t，y=2t+1

2t2?2

，设u＝2t+1，t=

u?1

2，y=

2u

u2?2u?3

=2

u?3u?2

，

∵x∈(0，π

2

)，t∈(1，√2]，u∈(3，1+2√2]，当u=1+2√2时，y min=1+2√2

2．

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．

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