2014-2015学年上海市实验学校高一(下)期中数学试卷 (解析版)

2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷

一、填空题（共10小题）.

1．（4分）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝ ．

2．（4分）化简：cos(2π?α)?tan(π2+α)?tan(α?π)

cos(3π2+α)?cot(3π?α)= ．

3．（4分）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 ．

4．（4分）已知cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=?45，且β是第三象限的角，则sin β＝ ．

5．（4分）已知△ABC 中，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，则边c ＝ ．

6．（4分）若1+tanα1?tanα=3+2√2，则sin2α＝ ．

7．（4分）已知1?cos2αsinαcosα

=1，tan （β﹣α）=?13，则tan （β﹣2α）＝ ． 8．（4分）若2sin θ+3cos θ＝2，则sin θ+cos θ＝ ．

9．（4分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为 ．

10．（4分）已知函数f （x ）＝x 2+bx +c ，对于任意α，β∈R 都有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0，若f （sin α）的最大值为10，则f （x ）＝ ．

二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）

11．（4分）在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 12．（4分）设集合A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈z }，

则A ∩（B ∪C ）＝（ ）

A ．{x|x =kπ+π3，k ∈z}

B ．{x|x =kπ?π3，k ∈z}

C ．{x|x =2kπ±π3，k ∈z}

D ．{x|x =kπ±π3，k ∈z}

13．（4分）已知α∈(0，π4)，则下列不等式中正确的是 （ ）

A ．sin （sin α）＜sin （tan α）＜sin α

B ．sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）

C ．sin （tan α）＜sin α＜sin （sin α）

D ．sin α＜sin （sin α）＜sin （tan α）

14．（4分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC =√2BC ，则△ABC 的面积的最大值为 （ ）

A ．2√2

B ．2√5

C ．2

D ．23√3

三、解答题（本大题共4小题，满分44分）

15．（10分）在△ABC 中，√3tanC ?1=

tanB+tanC tanA ， （1）求角B 的值；

（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求边长a 、c 的值．

16．（10分）已知函数f （x ）＝2sin （13

x ?π6），x ∈R （1）求f(5π4)的值；

（2）设0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f （3β+2π）=65

，求cos （α+β）的值． 17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，钝角α+π4

的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若α+π4的终边与单位元圆交于点(?35，t)．

（1）求t 的值；

（2）求cos α和sin α的值；

（3）设f(x)=cos(πx 2+α)，求f （1）+f （2）+…+f （2015）的值． 18．（12分）已知A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }，

（1）求集合A ∩B ；

（2）若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x ?4sin(π4+x 2)sin(π4?x 2

)+m ＞0恒成立，求m 的取值范围．

四、附加题（本大题共2小题，满分20分）

19．（10分）已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA +1cosC =?√2cosB ，求cos A?C 2的值．

20．（10分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tan B=

cos(C?B) sinA+sin(C?B)，

（1）判断△ABC的形状，并加以证明；

（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1

bc表示成y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，

当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．

参考答案

一、填空题（共10小题）.

1．（4分）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝

π2 ．

【分析】写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．

解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β＝α+2k π，k ∈Z }．角α的终边与角5α的终边相同， ∴5α＝α+2k π，α∈（0，π），∴α=kπ2，可得k ＝1，α=π2．

故答案为：π2． 【点评】本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．

2．（4分）化简：cos(2π?α)?tan(π2+α)?tan(α?π)

cos(3π2+α)?cot(3π?α)= 1 ．

【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．

解：cos(2π?α)?tan(π2+α)?tan(α?π)cos(3π2+α)?cot(3π?α)=??cosα?cotα?tanαsinα?cotα=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．

3．（4分）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 2π﹣2 ．

【分析】设圆心角为θ，弧长为l ，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可． 解：设圆心角为θ，弧长为l ，

由题意得4+l ＝4π，解得l ＝4π﹣4

∴圆心角θ=l r =2π﹣2

故答案为：2π﹣2．

【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．

4．（4分）已知cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=?45，且β是第三象限的角，则sin β＝ ?35 ．

【分析】由两角差的余弦公式可得cos β，进而由同角三角函数的基本关系可得． 解：∵cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=?45，

∴cos[（α﹣β）﹣α]=?45，即cos β=?45，

∵β是第三象限的角，

∴sin β=?√1?cos 2β=?35，

故答案为：?35．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．

5．（4分）已知△ABC 中，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，则边c ＝ 3或5． ．

【分析】利用余弦定理得出a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，把已知a ，b 及A 的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c 的一元二次方程，求出方程的解即可得到c 的值． 解：∵在△ABC ，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，

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