2014-2015学年上海市实验学校高一(下)期中数学试卷 (解析版)(2)

∴根据余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc ?cos A 得：72＝82+c 2﹣16c ?cos60°，

整理得：c 2﹣8c +15＝0，

解得：c ＝3或c ＝5，

则c 的值为3或5．

故答案为：3或5．

【点评】此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

6．（4分）若1+tanα1?tanα=3+2√2，则sin2α＝ 2√23 ．

【分析】根据已知等式可求tan α，由万能公式即可求值．

解：∵1+tanα1?tanα=3+2√2，

∴整理可得：1+tan α＝3﹣3tan α+2√2?2√2tan α，可得：tan α=1+√22+2=√22， ∴sin2α=2tanα1+tan 2α=2×√2

21+12=2√23． 故答案为：2√23

． 【点评】本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．

7．（4分）已知1?cos2α

sinαcosα=1，tan （β﹣α）=?13，则tan （β﹣2α）＝ ﹣1 ．

【分析】把已知条件1?cos2α

sinαcosα

=1利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用

两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解：由1?cos2α

sinαcosα=

1?(1?2sin2α)

sinαcosα

=2tanα＝1，得到tanα=12，又tan(β?α)=?13，

则tan（β﹣2α）＝tan[（β﹣α）﹣α]=tan(β?α)?tanα

1+tan(β?α)tanα

=

?13?12

1?16

=?1．

故答案为：﹣1

【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．

8．（4分）若2sinθ+3cosθ＝2，则sinθ+cosθ＝7

13

或1．

【分析】将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ＝0，从而解得cosθ＝0，或者12sinθ+5cosθ＝0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．

解：∵2sinθ+3cosθ＝2，

∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ＝4，

（12sinθ+5cosθ）cosθ＝0，

所以有：cosθ＝0，代入原式，得sinθ＝1，

或者12sinθ+5cosθ＝0，解得：sinθ=?5

12cosθ，

代入原式，有：sinθ=?5

13，cosθ=

12

13．

所以可得：sinθ+cosθ＝1，或者sinθ+cosθ=7 13．

故答案为：7

13

或1．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．

9．（4分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为2√2+2．

【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．

解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×1

2

×1×1×sinα＝2sinα，

由余弦定理可得正方形边长为：√1+1?2×1×1×cosα=√2?2cosα，

故正方形面积为：2﹣2cos α，

所以所求八边形的面积为：2sin α﹣2cos α+2＝2√2sin （α?π4）+2，

所以该八边形的面积的最大值为2√2+2．

故答案为：2√2+2．

【点评】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．

10．（4分）已知函数f （x ）＝x 2+bx +c ，对于任意α，β∈R 都有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0，若f （sin α）的最大值为10，则f （x ）＝ x 2﹣5x +4 ．

【分析】由f （sin α）≥0知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）≥0，同样可得x ∈[1，3]时，f （x ）≤0，从而得到f （1）＝0，从而可得到f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f （﹣1）

＝10，这样便可得到不等式组{1+b +c =01?b +c =10

，解出b ，c 即可得出f （x ）． 解：由已知条件知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）≥0，x ∈[1，3]时，f （x ）≤0；

∴f （1）＝0，f （x ）在[﹣1，1]上单调递减；

f （sin α）的最大值为10；

∴f （﹣1）＝10；

∴解{1+b +c =01?b +c =10得，{b =?5c =4

； ∴f （x ）＝x 2﹣5x +4．

故答案为：x 2﹣5x +4．

【点评】考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f （x ）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．

二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分）

11．（4分）在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【分析】由正弦定理知

a sinA =

b sinB ，由sin A ＞sin B ，知a ＞b ，所以A ＞B ，反之亦然，故可得结论．

解：若sin A ＞sin B 成立，

由正弦定理 a sinA =b sinB =2R ，

所以a ＞b ，

所以A ＞B ．

反之，若A ＞B 成立，

所以a ＞b ，

因为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，

所以sin A ＞sin B ，

所以sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件．

故选：C ．

【点评】本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．

12．（4分）设集合A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈z }，则A ∩（B ∪C ）＝（ ）

A ．{x|x =kπ+π3，k ∈z}

B ．{x|x =kπ?π3，k ∈z}

C ．{x|x =2kπ±π3，k ∈z}

D ．{x|x =kπ±π3，k ∈z} 【分析】求出B 与C 的并集，找出A 与并集的交集即可．

解：∵A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈Z }， ∴A ∩（B ∪C ）＝{x |x ＝2k π±π3，k ∈Z }， 故选：C ．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

13．（4分）已知α∈(0，π4)，则下列不等式中正确的是 （ ）

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