所以自由响应为：yc(t) e t e 4t
63dx(t)
(b)求强迫响应： 2x(t) 3e 3t 2e 3t; 假设特解为：
dt
yp(t) Ae 3t
即完全响应为：y(t)
信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书
11
； 则强迫响应 yp(t) e 3t (t).
22
t 4t
(c)求零输入响应：yzin(t) c1e c2e
代入原方程，可定出A
由 y(0 ) y'(0 ) 1 可定出c1
52,c2 33
yzin(t) (e t e 4t) (t)
(d)求零状态响应
零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应
114152121
＝e t e 4t e 3t (e t e 4t) e t e 4t e 3t
63233632
综上所求，有：
1141
y(t) e t e 4t e 3t
6 3 2
自由分量
强迫分量
5323
5 t2 4t1 t2 4t1 3te e e e e 36 32 3
零输入分量
零状态分量
(2) 6y(n) 5y(n 1) y(n 2) x(n) x(n 1)；x(n) (n)，y( 1) 1，
y( 2) 1
解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换，则有：
6Y(z) 5z 1Y(z) 5y( 1) Z 2Y(z) z 1y( 1) y( 2) X(z)(1 z 1) Y(z)
1 z 16 5z 1 z 2
6 5z 1 z 2
1(z )z
z(z 1)z6 11(z 1)116(z )(z )(z )(z )
2323z 111 2z z
] [ ] [
11Z 1116z z z z 2323
零状态
零输入
X(Z)
5y( 1) y( 2) zy( 1)
y(n)
11 1 1 1
[( )n ()n 1] (n) [()n 2()n] (n) 6 3 2 3 2
零状态
零输入
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7 11311
〔()n ( )n] (n) (n)
6 3 6 2 6
自由响应
强迫响应
解法二：时域解法。
求强迫响应：
x(n) x(n 1) (n) (n 1)
当n 1时：x(n) x(n 1) 2 即为常值序列， 设特解为yp(n) A.，代入原方程可定出A
1 6
1. 6
当n 0时：仅在激励作用下，由原方程知6y(0) (0)，即：y(0)
特解yp(n)
求自由响应：
1
在n 0时均满足方程。 6
111
完全解：y(n) c1( )n c2( )n n 0.
236
631
由y( 1),y( 2)经迭代得：y(0) ,y(1)
536
137
由y(0),y(1)可定出完全解中系数c1,c2为：c1 ,c2
66
711311
y[n] ( )n ( )n n 0.
63626
71131
则自由响应分量为：y(n) [( )n ( )n] (n)
6362
零输入响应：
1n1
yzi(n) c2( )n n) c1(
32
由 y( 1) y( 2) 1 可以定出：c1 1,c2 2
零状态响应：
yzin(n) [(
1n1
) 2( )n] (n) 32
11 1
y2s(n) y(n) yzin(n) [1 ( )n ()n] (n)
632
*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质： (1) 若系统对激励x(t)的响应为y(t)，则系统对激励(2) 若系统对激励x(t)的响应为y(t)，则系统对激励
dx(t)dy(t)
的响应为； dtdt
t
x( )d 的响应为
t
y( )d 。
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证(1) 已知x(t) y(t)，根据系统的线性试不变性有：
11
[x(t) x(t t)] [y(t) y(t t)]；令 t 0，则有：x'(t) y'(t). t t
证(2) 已知x(t) y(t)，根据系统的线性试不变性有：
n t
t
x(n t) t
n t
y(n t) t
n t
t
令 t 0, 则n t ,x(n t) x( ), t d ，所以
t
t
t
x( )d
t
y( )d .
证毕。
*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。
(1) 求出y(t)和x(t)之间的关系；
(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？
(3) 若输入信号x(t)是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应y(t)。
解 (1) 由系统框图可得y(t) x(t) x(t 1)
(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。 又因为当输入为x(t t0)时，输出为x(t t0) x(t t0 1) y(t t0），故系统是时不变的。
(3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。
y(t)
1 t
0 1 2
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