经济数学基础12期末复习指导(2)

(五)证明题应试

证明题考核同学运用概念、性质、定理及重要结论等进行论证和逻辑推理的能力．我们这课所涉及的主要证明题方面有：1. 函数的基本性质证明，如函数的奇偶性等；2. 函数在某点处是否连续、可导的证明；3. 定积分的等式的证明 ；4. 事件独立性，随机变量期望、方差的有关证明；5. 矩阵可逆、可交换，特殊矩阵的证明；6. 线性方程组解的证明.

证题方法．一般有二：其一：是验证．由计算结果，代入看是否满足等式．其实是计算题．如给定函数，验证函数的导数满足某等式其二，由已知条件出发，分析、推断，最后得到结论；或由结论入手，经过分析，运用已知条件，推出所求结论．写出证明过程．

证明题常常遇见证明“充分必要条件”的问题，

必要条件是某结论成立必须具备的条件，但不是充分的；充分条件是某结论的完备条件，即此条件成立，则结论必成立．如期末考试，“参加考试”是“考试通过”的必要条件，要想“考试通过”就必须参加考试，但参加考试，不一定就能通过．“得100分”是“考试通过”的充分条件．但“考试通过”不一定必须得100分．“考试通过”的充分必要条件是“得60分”．

任何一门学科，解决问题的方法一般没有一成不变的固定方法．题目类型五花八门，解题方法也是各式各样．学习方法不能靠记下来，一劳永逸．而是理解实质，要掌握好各种解题方法，唯一方法是多做练习，不断总结，增强记忆．

第三部分 复习重点及例题

重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数;

导数概念，极限、导数和微分的计算。

函数的极值及其应用 最值问题。

不定积分、原函数概念，积分的计算。

积分在几何问题与经济分析中的应用及微分方程的解法。

矩阵概念，矩阵乘法运算，可逆矩阵及逆矩阵求法，矩阵的秩，初等行变换。 线性方程组，有解判定定理和解法。

例题:

一.填空题

x 2, 5 x 0f(x) 2 x 1,0 x 2的定义域是 1．函数

数R(q) =

(x a)2 。 2．已知某商品的需求函数为q = 160 – 2p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函 。

3．若y e,g a cosx，则y(g) 。 x sinx x x4. 。

x2 1x 1 f(x) x 1 ax 1，若f(x)在( , )内连续，则a 。 5. 已知

2y 3(x 3)6. 函数 的单调减少区间是 。 lim

7．函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为

0.2p 。 8. 已知f(x) ln(1 x)，则f(0)= 。 9. 设某产品的需求量q为价格p的函数，且q 500e

。 ，则需求对价格的弹性为

10. 如果 f(x)dx cos5x C, 则f'(x) 。

2f(x)dx (2x 1)11.

12. 若 c，则f(x) 。 f(x)dx x 1 cx 1，则f(x) 。 deln(x2 1)dx 113. dx .

e14． 03xdx 。

102 A a03 23 1 ，当a 时，A是对称矩阵。 15. 设

16.设A,B为两个已知矩阵，且I B可逆，则方程A BX X的解X 。

17. 线性方程组AX b的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

0 1201 051 11 0000d 5

则当d 时，方程组AX b有无穷多解。

13 A 1aa 可逆。 18.当 时，矩阵

2 300 12 011 0 1 19．计算矩阵乘积= 。

x1 x2 0 x x2 020.当 时，齐次方程组 1有非0解.

二、单项选择题

1. 列函数中，（ ）不是基本初等函数。

11x3y y ()y 2x D． y ln(x 1) 2 C． A． B．

x 0 x 3, f(x) 2x,0 x 2

ln(x 2),2 x 2．若函数

，则( )成立。 A．f (-1) = f (0) B．f (0) = f (1) C．f (-1) = f (3) D．f (-3) = f (3)

sinx

x，若f(x)为无穷小量，则x的趋向必须是（ ）。 3.已知

A. x B. x C. x 1 D. x 0

4. 曲线y sinx在点(0, 0)处的切线方程为（ ）。 f(x) 1

1

A. y = x B. y = 2x C. y = 2x D. y = -x

5. 若f (x0) 0，则x0是f(x)的（ ）。

A. 极大值点 B. 最大值点 C. 极小值点 D.驻点

6．下列定积分中积分值为0的是（ ）。

x x1e eex e x

xx 1 122 A． B． 1

C．

2

0

1 (x3 cosx)dx D． (x2 sinx)dx xdx 7. =（ ）。 A．0(1 x)dx +21(1 x)dx B．10(x 1)dx +21(x 1)dx

(1 x)dx C．+0121(x 1)dx(x 1)dx D．+0121(1 x)dx

y （ ）。 8.微分方程y y的通解是

x2x xy e c 0.5x cceceA. B. C. D.

9. 设A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ ）。

1 A．AB B B．AB BA C．AA I D．A I

120 3

A 00 13 24 1 3 ，则r(A) =（ ）。 10．设

A．4 B．3 C．2 D．1

11.线性方程组AX 0只有0解，则AX b(b 0)（ ）。

A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解

12.当（ ）时，线性方程组AX b(b 0)有唯一解，其中n是未知量的个数。

A. 秩(A) 秩() B. 秩(A) 秩() 1 C. 秩(A) 秩() n D. 秩(A) n,秩() n 1

三、解答题

1．设 y xxx lnx，求dy．

x 2．已知f(x) 2sinx lnx，求f(x) ．

dy

ydxx 0。 y y(x)y 1 xe3. 设函数由方程确定，求

ysiny xe 0确定y是x的隐函数，求y (x). 4. 由方程

5.设某工厂生产某产品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），且已知需求函数q 100 2p（其中

上是畅销的.

试分别列出该产品的总成本函数C(p)和总收入函数R(p)的表达式；

（2） 求使该产品利润最大的产量； 答案：当产量为为q 45单位时，利润最大

（3） 求最大利润. p为价格，q为产量），这种产品在市场

q2

C(q) 180 20q q20（万元）．问：要使平均成6．已知某厂生产件产品的成本为

本最少，应生产多少件产品？

7.

9.10xcos xdx1 ex 0(1 ex)2x8． ln30ex(1 ex)2dx

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