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dI?(y?1)?d?
I???(y?1)?d????dx?(y?1)2dyD?1x22211
?13????(y?1)???3??111dx?x2?3123?8?(x?1)dx?1??
?163??6435??368105?
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 (x,y) 处的面密度为?(x,y),假定?(x,y)在D上连续,现计算该薄片对位于z轴上点
M0(0,0,1)处的单位质量质点的引力。
在闭区域D上任取一个小的闭区域d?,(x,y)是d?内的任一点,他的质量近似等于?(x,y)d?,于是薄片对质点的引力近似值为k?(x,y)d?rr?2,引力的方向于向量(x,y,0?1)一致,其中
?x?y?z,k为引力常数.于是,薄片对质点的引力元素dF在三
222个坐标轴上的分量dFx,dFy,dFz为
dFx?k?(x,y)xd?r3 ,
dFy?k?(x,y)yd?r3,
dFz?故
k?(x,y)(0?1)d?r3
27
Fx?k???D?(x,y)xd?rr3Fy?k???D?(x,y)yd?3Fz??k???D?(x,y)d?r3
小结：
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力 作业：
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第四节 三重积分的概念及其计算法
教学目的：深刻理解三重积分的概念、计算方法 教学重点：熟练掌握三重积分的计算 教学难点：计算三重积分时坐标系的选择 教学内容：
一、三重积分的定义
设f(x,y,z)是空间闭区域?上的有界函数,将?任意地分划成n个小区域 ?v1,?v2,?,?vn，其中?vi表示第i个小区域,也表示它的体积。在每个小区域?vi上任取一点(?i,?i,?i), 作乘积
nf(?i,?i,?i)?vi，作和式?f(?i,?i,?i)?vi， 以?记这n个小区域直
i?1n径的最大者,若极限 lim??0?i?1f(?i,?i,?i)?vi存在,则称此极限值为函数
f(x,y,z)在区域?上的三重积分,记作???f(x,y,z)dv,
?n即 ???f(x,y,z)dv=lim???0?i?1f(?i,?i,?i)?vi.
其中dv叫体积元素。
自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz。
二、三重积分的存在定理
若函数在区域上连续, 则三重积分存在。 三、三重积分的物理意义
29
如果f(x,y,z)表示某物体在(x,y,z)处的质量密度, ?是该物体所
n占有的空间区域,且f(x,y,z)在?上连续,则和式 ?f(?i,?i,?i)?vii?1就是物体质量m的近似值, 该和式当??0时的极限值就是该物体的质量m。
故 m= ???f(x,y,z)dv
?特别地, 当f(x,y,z)=1时,???dv??的体积.
?四、三重积分的计算法 假设积分区域?的形状如下图所示.
? 在xoy面上的投影区域为Dxy, 过Dxy上任意一点, 作平行于z轴
的直线穿过?
内部, 与?边界曲面相交不多于两点。 亦即, ?的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。
S1:z?z1(x,y) , S2:z?z2(x,y)
其中z1(x,y), z2(x,y)在Dxy上连续, 并且 z1(x,y)?z2(x,y)。
图9-4-1
如何计算三重积分???f(x,y,z)dv呢?
? 30
不妨先考虑特殊情况f(x,y,z)=1,则
???dv????dxdydz????z2(x,y)?z1(x,y)?d???Dxyz2(x,y)
???dv???dxdy即
一般情况下,类似地有
z2(x,y)?Dxy?dzz1(x,y)
???dv???dxdy?Dxyz2(x,y)z1(x,y)?f(x,y,z)dzz1(x,y)
显然积分?f(x,y,z)dz只是把f(x,y,z)看作z的函数在区间
[z1(x,y),z2(x,y)]上对z求定积分, 因此,其结果应是x,y的函数, 记
z2(x,y)F(x,y)??f(x,y,z)dzz1(x,y)
那么 ???f(x,y,z)dv????F(x,y)dxdyDxy
如上图所示, 区域Dxy可表示为
a?x?b,y1(x)?y?y2(x)
从而 ??F(x,y)dxdy?Dxy?badx?y2(x,y)y1(x,y)F(x,y)dy
综上讨论, 若积分区域?可表示成
a?x?b,y1(x)?y?y2(x),z1(x,y)?z?z2(x,y)
则 ???f(x,y,z)dv??badx?y2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz
这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z, 次
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