高等数学 重积分

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第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

教学目的：深刻理解二重积分的概念、性质、方法和 基本技巧

教学重点：利用二重积分的性质计算 教学难点：二重积分的几何意义 教学内容：

一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积

设有一空间立体?,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以

D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面

z?f(x.y)。

当(x,y)?D时,f(x,y)在D上连续且f(x,y)?0,以后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域??1，??2，?，??n，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体?分划成n个小曲顶柱体??1，??2，?，??n。 （假设??i所对应的小曲顶柱体为??i,这里??i既代表第i个小区域,又表示它的面积值, ??i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

2

图9-1-1

n从而 V????i?1i (将?化整为零)

(2) 由于f(x,y)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

??i?f(?i?i)??i(?(?i?i)???i)

(以不变之高代替变高, 求??i的近似值)

(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为

V??f(?i?i)??i?1ni

(4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为?, 则

nV?lim?f(?i,?i)????0i?1i

2.平面薄片的质量

3

设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在?x,y?处的面密度为

??x,y?,这里??x,y??0,而且??x,y?在D上连续,现计算该平面薄片

的质量M。

图9-1-2

将D分成n个小区域 ??1，??2，?，??n，用?i记??i的直径,

??i既代表第i个小区域又代表它的面积。

当??max??i?很小时, 由于??x,y?连续, 每小片区域的质量可近

1?i?n似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为

?(?i,?i)??i?(?i,?i)???ni

于是 M?n??(?i?1i,?i)??i

M?lim??(?i,?i)??i??0i?1

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因

此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 3. 二重积分的定义

设f?x,y?是闭区域D上的有界函数, 将区域D分成个小区域

4

??1,??2,?,??n,

其中,??i既表示第i个小区域, 也表示它的面积, ?i表示它的直径。

??max{?i}?(?,?)???iii1?i?n

作乘积 f(?i,?i)??in(i?1,2?,n)

作和式 ?f(?i,?i)??i

i?1n若极限 lim?f??i,?i???i 存在,则称此极限值为函数f?x,y?在区域

??0i?1D上的二重积分,记作 ??fD?x,y?d?n。

即 ??f?x,y?d??lim?f??i,?i???i

D??0i?1其中: f?x,y?称之为被积函数,f?x,y?d?称之为被积表达式,d?称之为面积元素,

nx,y称之为积分变量,D称之为积分区域,?f??i,?i???i称之为

i?1积分和式。

4. 几个事实

(1) 二重积分的存在定理

若f?x,y?在闭区域D上连续, 则f?x,y?在D上的二重积分存在。 声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)??f?x,y?d?中的面积元素d?象征着积分和式中的??i。

D 5

图9-1-3

由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d?记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 ??f?x,y?d?。

D(3) 若f?x,y??0,二重积分表示以f?x,y?为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质 1. 线性性

??[??f(x,y)???g(x,y)]d??????f(x,y)d??????g(x,y)]d?DDD

其中: ?,?是常数。 2. 对区域的可加性

若区域D分为两个部分区域D1,D2,则

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?DD1D2

3. 若在D上,f?x,y??1, ?为区域D的面积,则

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