数学建模复习内容带习题答案(3)

clear all; t0=0;tf=10;

[t,y]=ode45('daodan01',[t0,tf],[0,0]); plot(t,y,'r*'); t , y

5?dx?(1?x)?dt22(1?x)?(t?y)?5?dy5. ??(t?y) （课本，P132页例6）

22(1?x)?(1?y)?dt?x(0)?0,y(0)?0??

四、 求解下列差分方程的通解 1. 斐波那契数列

?F?Fn?1?Fn?2 ?n （课本，P138页例7 ）

F?F?112?2. 求解 an?2an?1?an?2,n?3,4,?， 初值 a1?2,a2?3 （课本，P138页例8 ） 3. 求解 an?an?1?an?2,n?3，初值a1?1,a2?0 （课本，P139页例10 ） 4. H(n)?H(n?1)?H(n?2)?H(n?3),求其通解

解：对应的特征方程 x3?x2?x?1?0，化简 (x?1)2(x?1)?0 求解得：x1?x2?1，x3??1

n所以通解： H(n)?c1x1n?c2nx1n?c3x3?c1?c2n?c3

5. 某人上一共有n级台阶的楼梯，如果规定他每步只能上1级台阶或2级台阶，问共有多少种不同的上楼梯的方法。

解：第一步上1级台阶，则有H(n-1)种上楼梯的方法；第二步上2级台阶，则有H(n-2)种上楼梯的方法。因此 H(n)=H(n-1)+H(n-2)，特征方程为： x2?x?1 特征根为：x1?1?51?5，x2?，写出通解并根据H(1)=1,H(2)=2求c1和c2 226. 只由3个字母a,b,c组成的长度为n的一些单词将在通信信道上传输，传输中应满足条件：

不得有两个a连续出现在任一单词中，确定通信信道允许传输的单词的个数。

解：设单词的总长度是n。若第1个字母是a，那么第2个字母可以是b或c，即开头两个字母是ab或ac，这种情况的单词方案为2*f(n-2)。

若第1个字母是b或c，那么第2个字母可以任取，这种情况的单词方案为2*f(n-1)。 故有f(n)=2f(n-1) +2f(n-2) 对应的特征方程为 x2?2x?2?0，求解得特征根为

x1?1?3，x2?1?3，所以通解为 f(n)?c1(1?3)n?c2(1?3)n 将初值 f(0)?1，f(1)?3代入得 c1?2?323，c2??2?323

7. 某人有n(n≥1)元钱，他每天买一次物品，或者买一元钱的甲物品，或者买两元钱的乙物品。问此人有多少种方式花完这n元钱？

解：H(n)=H(n-1)+H(n-2)； n=1时, H(1)=1; n=2时， H(2)=3; 求出特征根。 自己求解即可。

8.求长度为n的0,1符号串，不出现00的符号串总数。

解：第1个符号为0时，第二个符号只能为1，此时共有H(n-2)中排法；第1个符号为1时，第二个符号可任意排，此时共有H(n-1)种排法。因此

H(n)=H(n-1)+H(n-2)。可求出特征根，并根据H(1)=2, H(2)=3求其参数c1和c2

9. 从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现3次，求这样的排列的数目。 解：

首先，假设取n个文字作允许重复的排列，不允许一个字连续出现3次的排列数为an,

假设取n-1个文字最后一位为x，最后一位与x不同的取法有(k-1)种，(k-1)an-1种。 少算了最后一位也取x的情况，就是最后两位都是x的情况，也就是最后两位与倒数第三位不同的情况，有(k-1)an-2种。

an?(k?1)an?1?(k?1)an?2a1?k,a2?k,a3?k?k特征方程为x?(k?1)x?(k?1)?0223

特征根(k?1)?(k?1)2?4(k?1)x?

2(k?1)?(k?1)(k?3) ?2设r1?(k?1)?(k?1)(k?3)2

(k?1)?(k?1)(k?3)r2?2nn则an?k1r1?k2r2

代入初值a1?k,a2?k,2，可求出k1,k2

五、 插值与拟合

1. 根据下表给出的平方根值，(1)用线性插值计算5; (2)用抛物线法计算5

x x 1 1 4 2 9 3 16 4 (答案见课本P151, 例1和例2)

2. 已知y?f(x)的函数表

x y 求线性插值多项式，并计算x?1.5的值。 解：

x?x0x?x1

p(x)?y0?y1 x0?x1x1?x0 x?3x?11??1??2?(x?1) 1?33?12 f(1.5)?p(1.5)?1.251 1 3 2 3.已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求解:7(x–x1)(x–x2)(x–x0)(x–x2)y1L2(x)=(x–x)(x–x)y0+0102(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x1)+y2(x2–x0)(x2–x1)x0=1, x1=4, x2=9(7–4)(7–9)L2(7)=(1–4)(1–9)(7–1)(7–4)+(9–1)(9–4)= 2.72014/12/30jkhhy0=1, y1=2, y2=3 *1+* 332(7–1)(7–9)(4–1)(4–9)* 2 4.求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式解:由Lagrange 插值公式(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)P(x)?y0?y1?y2(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)(x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)p(x)??1??2??3(0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)?x?1（给定的三个点在一条直线上）2014/12/30jkhh34 5. 已知f (x)的观测数据x 0 1 2 4f (x) 1 9 23 3构造Lagrange插值多项式解四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为l(x)?(x?1)(x?2)(x?4)(0?1)(0?2)(0?4)??18x3?7708x2?4x?1l(x?0)(x?2)(x?4)1(x)?(1?0)(1?2)(1?4)?13x3?2x2?83xl2(x)?(x?0)(x?1)(x?4)(2?0)(2?1)(2?4)??14x3?54x2?x2014/12/30jkhhl)?(x?0)(x?1)(x?2)1(4?0)(4?1)(4?2)?24x3?18x2?13(x12xLagrange插值多项式为3L3(x)??yklk(x)k?0?l0(x)?9l1(x)?23l2(x)?3l3(x)??1134x?454x2?12x?12014/12/30jkhh3536 6. 已知f(x)的观测数据x 1 2 3 4f(x) 0 -5 -6 3构造三次拉格朗日插值多项式解: 四个点可以构造三次插值多项式, 将数据代入插值公式，有L3(x)?l0(x)y0?l1(x)y1?l2(x)y2?l3(x)y3?x3?4x2?32014/12/30jkhh

7.. 用二次多项式函数拟合下述给定数据，求其超定方程和相应的正规方程。x 1 2 3 4 y 4 10 18 36 解：设

P(x)?a0?a1x?a2x2，得

??a0?a1?a2?4?111???a0?2a1?4a2?10?124??a?4?0??3aa,??a01?939??????a?1???10? 2?18?1??a4a?0?1?16a2?26?1416????a?18?2????26??

记系数矩阵为?，则

?41030??58??T????1030100?， ?T?y??

????182??30100354????622??故正规方程组为

??41030?????a0??58?1030100a???30100354???1182? ????????a2????622??解得

a?34910?2,a1?10,a2?2

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