数学建模复习内容带习题答案

考试内容分布： 1、 2、 3、 4、 5、 6、

线性规划2题，有1题需编程； 非线性规划2题，有1题需编程； 微分方程 1题，需编程；

差分方程2题，纯计算，不需编程； 插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；； 综合1题(4分)，纯计算，不需编程。

一、 列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序

1. 某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三

种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。（答案见课本P35, 例1）

2. 有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t， 它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民

区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。 A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km， B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km， 问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？

(1) 问题分析

设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10* x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。

(2) 模型的求解

>> f=[10 5 6 4 8 15]; >> A=[-1 -1 -1 0 0 0

0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 -1];

>> b=[-60;-100;-45;-75;-40]; >> Aeq=[]; >> beq=[];

>> vlb=zeros(6,1); >> vub=[];

>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated.

(3) 结果分析

x =

0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000

即A煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t；B煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t可在满足条件下使得总运输量最小。

3. 某工厂利用两种原料甲、乙生产A1,A2,A3三种产品，每月可供应的原料数量（单位：t）、每万件产品

所需各种原料的数量以及每万件产品的价格如下表所示 每万件产品所学原料/t 原料 甲 乙 价格/万元 每月原料供应量/t 180 200 A1 4 2 12 A2 3 6 5 A3 1 3 4 试制定每月最优生产计划，使得总收益最大。

解：设A1生成x1万件，A2生成x2万件，A3生成x3万件 那么总收入为：12*x1+5*x2+4*x3

目标：总收入最大，即：max 12*x1+5*x2+4*x3

约束条件：

1.甲原材料：4*x1+3*x2+x3<=180 2.乙原材料：2*x1+6*x2+3*x3<=200 3.物理条件:x1>=0,x2>=0,x3>=0

在Matlab中输入： f=-[12;5;4]; A=[4,3,1;2,6,3]; b=[180;200]; Aeq=[]; beq=[];

xmin=[0,0,0];

xmax=[inf,inf,inf]; x0=xmin;

[x,fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,xmin,xmax,x0);

x,-fmin 结果为： x =

34.0000 0.0000 44.0000 ans =

584.0000

即当生产34万件的A1和44万件的A3。总收入达到最大，为584万。

4、某医院负责人每日至少需要下列数量的护士： 班次 时间 最少护士数 1 6时—10时 60 2 10时—14时 70 3 14时—18时 60 4 18时—22时 50 5 22时—02时 20 6 02时—06时 30 每班护士在职半开时向病房报道，连续工作八小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需雇佣多少护士？ 试根据你了解的实际情况建立一个较好的数学模型及相应的算法和程序。

解：一、问题假设

1、每名值班护士都正常工作，没有请假现象。 2、该医院不存在大的人员变动。 3、每名护士都可以连续工作八小时。

二、问题分析

分析该问题，可以得出该问题是一个线性规划问题，求解需雇佣的最少护士人数，所以应该，建立目标函数以及对应的约束条件。根据每班的人数列出目标函数，根据六个时间段所需要的最少护士数建立六个约束条件。

三、符号说明

符号 Z 表示意义 需要雇佣的最少护士数 符号 表示意义 第i个班次加入值班的人数 xi 四、模型建立

根据题意判断出该问题属于求解最优化问题，需要确定目标函数和约束条件，具体模型如下:

minZ?x1?x2?x3?x4?x5?x6?x1?x6?60?x?x?702?1?x2?x3?60? s.t.?x3?x4?50?x?x?205?4?x5?x6?30?xi?0,i?1,2,???,6?五、模型求解

利用matlab软件，编写m文件，求解该模型。 程序代码:

%dierti

f=[1,1,1,1,1,1] A=[-1 0 0 0 0 -1; -1 -1 0 0 0 0; 0 -1 -1 0 0 0; 0 0 -1 -1 0 0; 0 0 0 -1 -1 0; 0 0 0 0 -1 -1;]

b=[-60;-70;-60;-50;-20;-30;] lb=zeros(6,1);

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

计算结果:

f =

1 1 1 1 1 1 A =

-1 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0

0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 b = -60 -70 -60 -50 -20 -30 x =

41.9176 28.0824 35.0494 14.9506 9.8606 20.1394 fval =

150.0000

六、模型求解分析

根据计算的结果可以得出，该医院至少要雇用150护士，其中在每个班次中添加的具体人员如下表:

表一:每个班次中加入的人员数

班次 1 2 3 4 5 6 综上，求解出该值班安排问题。

护士数 42 28 35 15 10 20 二、 列出下面问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序

1.炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？

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