立体几何解答题汇总及答案

立体几何

立体几何

1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，

QA=AB=

12PD.（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面

角Q-BP-C的余弦值.

2.如图，在三棱柱ABC?ABC中，H111是正方形AA1B1B5.（Ⅰ）求

的中心，AA1?22，C1H?平面AA1B1B，且C1H?异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角A?A1C1?B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN?平面A1B1C，求线段BM的长．

3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90?，

ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

4.如图5，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为1的棱形

?DAB?60,PA?PD?02,PB?2,E,F分别是BC,PC的中点，（1） 证明：AD?平面DEF（2）求二面角P?AD?B的余弦值。

5.如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，OA?1,OD?2,VOAB,△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。（Ⅰ）证明直线BC∥EF；（II）求棱锥F-OBED的体积。

6.

已知三棱柱，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1?底面ABC，

AB?2,AA1?4，E为AA1的中点，F为BC中ABC?A1B1C1点．(Ⅰ) 求证：直线AF//平面BEC1；（Ⅱ）求平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

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立体几何

7. 如图,在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD

折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O

恰好落在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值．

8. 如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成

角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF； （Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°．

9. 如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA?平

面ABCD，AB?2,AD?1,SB?7,?BAD?120?,E在棱SD上．（I）当SE?3ED时，求证SD?平面AEC;（II）当二面角

S?AC?E的大小为30?时，求直线AE与平面CDE所成角的大小．

10. 如图，在三棱柱ABC?ABC11中，AB?AC，顶点A1在底面上的 1C1B1A1射影恰为点B，且AB?AC?A1B?2．（Ⅰ）证明：平面A1AC?平面

AB1B；（Ⅱ）求棱AA1与BC所成的角的大小；（Ⅲ）若点P为B1C1的

中点，并求出二面角P?AB?A1的平面角的余弦值．

CBC?A11. 已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD

的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC?D，使得平面BC?D⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：C?D?平面ABD；（Ⅱ）求直线BD与平面BEC?所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D?BE?C?的余弦值．

B C 12. 如图，四棱锥P?ABCDA 的底面是直角梯形，AB//CD，

PE D AB?AD，?PAB和?PAD是两个边长为2的正三角形，DC?4，O为BD的中点，E为PA的中点．(Ⅰ)求证：PO?平面ABCD；(Ⅱ)求证：OE//平面PDC；(Ⅲ)求直线CB与

E平面PDC所成角的正弦值．

AOB13.

如图，已知菱形ABCD的边长为6，

?DC?BAD?60,AC?BD?O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD?32，得到三

棱锥B?ACD.（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证:OM//平面ABD；（Ⅱ）求二面角A?BD?O的余弦值；（Ⅲ）设点

N是线段BD上一个动点，试确定N点的

M

位置，使得CN?42，并证明你的结论.

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立体几何

14. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，

AB∥EF，∠EAB=90o，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。（1）若点O为线段AC的中点，求证：OF//平面ADE；（2）求平面BCF与平面DCF所夹的角。

15. 如图，已知四棱锥

P—ABCD的底面是直角梯形，

?ABC??BCD?90?，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC?底面

ABCD，O是BC的中点。（1）求证：PO?平面ABCD；（2）求证：

PA?BD.（3）若二面角D—PA—O的余弦值为105，求PB的长

A1 E B1 A (第11题图)

16. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中． (1)若BB1=BC，B1C⊥A1B，证明：平面

AB1C?平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求

A1EEC1C1

的值．

C B D 17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

?A?45,?C?90,?ADC?105,AB?BD,现将四边形

??AA?FEABCD沿BD折起，使平面ABD?平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(Ⅰ)求证：DC?平面ABC；(Ⅱ)求BF与平面ABC所成角的正弦；(Ⅲ)求二面角B－EF－A的余弦．

DBDCBC乙图甲甲图18. 在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2BC=4，

CD=3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，如（图一），将此梯形沿EF折成一个直二面角A－EF－C，如（图二）。（1）求证：BF//平面ACD；（2）求多面体ADFCBE的体积。

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立体几何

答案 1.解：

如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.

（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

????????????则DQ?(1,1,0),DC?(0,0,1),PQ?(1,?1,0).

所以PQ?DQ?0,PQ?DC?0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.

故PQ⊥平面DCQ.

又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. ????6分

??? （II）依题意有B（1，0，1），CB?,0),1(???(B2,1P.)1???????????????????

??????n?CB?0,?x?0,即?设n?(x,y,z)是平面PBC的法向量，则???? ??x?2y?z?0.??n?BP?0,?因此可取n?(0,?1,?2).

??????m?BP?0,设m是平面PBQ的法向量，则? ??????m?PQ?0.可取m?(1,1,1).所以cos?m,n???155.

故二面角Q—BP—C的余弦值为?155. ??????12分

2.本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间

向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,?2,5) A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)

????????? （I）解：易得AC?(?2,?2,5),A1B1?(?22,0,0)， ???????????????????AC?A1B142???????, 于是cosAC,A1B1?????3|AC|?|A1B1|3?22 4

立体几何

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23.

????????? （II）解：易知AA1?(0,22,0),A1C1?(?2,?2,5).

设平面AA1C1的法向量m?(x,y,z)，

????????m?A1C1?0??2x?2y? 则?即????????22y?0.?m?AA1?05z?0,

不妨令x?5,可得m?(5,0,2)，

同样地，设平面A1B1C1的法向量n?(x,y,z)，

????????n?A1C1?0,??2x?2y? 则??????即?????22x?0.?n?A1B1?0.5z?0,不妨令y?5，

可得n?(0,5,2). 于是cosm,n?m?n|m|?|n|357?27?7?27,

从而sinm,n?.

所以二面角A—A1C1—B的正弦值为357.

（Ⅲ）由N为棱B1C1的中点,得N(?????MN?(2325,,),设M(a,b,0),则22222?a,322?b,52),

????????????MN?A1C1?0由MN?平面A1B1C1,得?????,即????????MN?A1B1?0?2325(?a)(?2)?(?b)(?2)??5?0??232, ??2(?a)(?22)?0??2 5

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