电大高等数学基础复习小抄（有试题分析）(2)

cos11计算

?xcosx2dx 解：?xx2dx???cos1xd(1x)??sin1x?c

sin1sin10707.计算

?xxx2dx． 解： ?x2dx???sin1xd(1x)?cos1x?c 11xx110701计算?e 解： ?e12dx． 2dx???exd()??exxxx?c

凑微分类型2：??1xdx?2??dx .计算?cosxxdx． 解： ?cosxxdx?2?cosxdx?2sinx?c 0807.计算?sinxxdx． 解：?sinxxdx?2?sinxdx??2cosx?c x0801.计算?ex2exxdx 解：?exdx?2?exdx??c 凑微分类型3：??1xdx???dlnx， ??1xdx???d(a?lnx) 计算?1xlnxdx 解：?1dlnx1xlnxdx??lnx??udu?ln|lnx|?c e.计算?e2?lnx1xdx 解： ?e2?lnxxdx??e1(2?lnx)d(2?lnx)?1512(2?lnx)2? 125 定积分计算题，分部积分法 11a?1类型1：?xalnxdx?a?11xa?1?lnxdxa?1?a?1xlnx?a1a?1a?1?xdx?a?1lnx?(a?1)2x?c 计算?e1xlnxdx 解： a?1， ?xlnxdx?1212122?lnxdx?2xlnx?4x?c exlnxdx?1ex2x?x2e1?e2?212?1lnxdx?(2ln4)1?4 ?e1lnxdx?(xlnx?x)e1?(e?e)?(0?1)?1 e计算?lnx1x2dx 解：a??2 ， ?lnxx2dx???lnxd(1x)??1xlnx?1x?c ?elnxe1lnx1e21x2dx???1lnxd(x)?(?x?x)1?1?e e计算?lnx1xdx 解：a??12，?lnxxdx?2?lnxdx?2xlnx?4x?c ?elnxe1xdx=2?1lnxdx?(2xlnx?4x)e1??2e?4 0807 ?exlnxdx?2e32343322e22413? 1lnxd x2?(3xlnx?9x)1?9e?9

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0707 ?e21xlnxdx?13?e31313e2311lnxdx?(3xlnx?9x)1?9e?9

类型2 ?xeaxdx?1ax1a?xd(e)?axeax?1axa2e?c ?111120xe2xdx?2?0xde2x?(2xex?12x11214e)0?4e?4 ?1?x1?x?x?x1?10xedx???0xde?(?xe?e)0??2e?1 ?1?2x11?1?2x1?2x13?210xedx??2?0xde2x?(?2xe?4e)0??4e?4 （0801考题） ?1x1xxx10xedx??0xde?(xe?e)0?1 类型3： ?xsinaxdx??1111axcosax?a?cosaxdx??axcosax?a2sinax?c ?xcosaxdx?1111axsinax?a?sinaxdx?axsinax?a2cosax?c ????20xsinxdx???20xdcosx?(?xcosx?sinx)2?1?0?1 0????2xcosxdx??2xdsinx?(xsinx?cosx)2??002?1 0?xsin2xdx??12xcos2x?12?cos2xdx??112xcos2x?4sin2x?c ??20xsin2xdx??1?2?0xdcos2x?(?12xcos2x?1?24sin2x)2???0??044 ??2xcos2xdx?1??02xsin2x|02?1?2?20sin2xdx?1214cos2x|0??2 四、应用题（1题，16分） 类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 h2?r2?l2 圆柱体的体积公式为 V??r2h?π(l2?h2)h 求导并令 V??π(l2?3h2)?0 l 得h?33l，并由此解出r?63l． 即当底半径r?63l，高h?33l时，圆柱体的体积最大．

类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。

2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V??.r2.h,h?V?.r2

表面积为S?2πr2?2πrh?2πr2?2Vr

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S??4πr?2Vr2， 由S??0得r?3V2π，此时h?2r?34Vπ。

由实际问题可知，当底半径r?3V2π与高h?2r 时可使用料最省。

一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为

r，高为

h，则无盖圆柱形容器表面积为

S?πr2?2πrh?πr2?2V，令

rS??2πr?2Vr2?0， 得

r?3Vπ,h?r， 由实际问题可知，当底半径r?3Vπ与高h?r 时可使用料最省。

2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题） 解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为

y，由已知x2h?V?32，h?Vx2， 表面积 y?x2?4xh?x2?4Vx，

令y??2x?4Vx2?0，得x3?2V?64， 此时x?4,h?Vx2=2 由实际问题可知，x?4是函数的极小值点，所以当x?4，h?2时用料最省。 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 类型3 求求曲线y2?kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短． 曲线y2?kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L?(x?a)2?y2?(x?a)2?kx

L??2(x?a)?k?0， 2x?2a?k 3-1在抛物线y2?4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短． 解：设所求点P（x，y），则满足 y2?4x，点P 到点A 的距离之平方为 L?(x?3)2?y2?(x?3)2?4x 令L??2(x?3)?4?0，解得x?1是唯一驻点，易知x?1是函数的极小值点， 当x?1时，y?2或y??2，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2） 3-2求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 解：曲线y2?2x上的点到点A（2，0） 的距离之平方为L?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x

令L??2(x?2)?2?0，得x?1， 由此y2?2x?2， y??2

即曲线y2?2x上的点（1，2）和（1，?2）到点A（2，0）的距离最短。 08074 求曲线y?x2上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。 解： 曲线y?x2上的点到点A（0，2）的距离公式为 d?x2?(y?2)2?y?(y?2)2

d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点， d2?y?(y?2)2 (d2)??1?2(y?2)?2y?3

令

(d2)??0得y?32，并由此解出x??62，

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6363即曲线

y?x2上的点（

2,2）和点（?2,2）到点A（0，2）的距离最短 9

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