电大高等数学基础复习小抄（有试题分析）

高等数学基础归类复习

一、单项选择题

1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.

f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

C.f(x)?lnx3，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?x2?1x?1

1-⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x

设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（D ）对称．

A. y?x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 e?x.函数y??ex2的图形关于（ A ）对称．

(A) 坐标原点 (B)

x轴 (C) y轴 (D) y?x

1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A.

y?ln(1?x2) B. y?xcosx C.

ax?a?xy?2 D.

y?ln(1?x) 下列函数中为奇函数是（A ）． A.

y?x3?x B. y?ex?e?x C. y?ln(x?1) D. y?xsinx

下列函数中为偶函数的是（ D ）．

A y?(1?x)sinx B y?x2x C y?xcosx D y?ln(1?x2)

2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. limx2x??x2?2?1 B. limx?0ln(1?x)?0 C. limsinxx??x?0 D. lim1x??xsinx?0 2-2当x?0时，变量（ C ）是无穷小量． A. sinxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x?2) 当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．A 1sinxxxx B x C e?1 D x2

.当x?0时，变量（D ）是无穷小量．A 1sinx B xx C 2x D ln(x?1)

下列变量中，是无穷小量的为（ B ） 1 Asin1x?x?0? B ln?x?1??x?0? Cex?x??? D.x?2x2?4?x?2?

3-1设f(x)在点x=1处可导，则limf(1?2h)?f(1)h?0h?（ D ）． A. f?(1) B. ?f?(1) C. 2f?(1) D. ?2f?(1)

设

f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?0h?（ D ）． A f?(x0) B 2f?(x0) C ?f?(x0) D ?2f?(x0)

设

f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?02h?（ D ）．

A.

?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

1

设

f(x)?ex，则f(1??x)?f(1)1?limx?0?x?（ A ） A e B. 2e C. 2e D. 14e

3-2. 下列等式不成立的是（D ）．

A.exdx?dex B ?sinxdx?d(cosx) C.

12xdx?dx D.lnxdx?d(1x)

下列等式中正确的是（B ）．A.d(11?x2)?arctanxdx B. d(1dxx)??x2

C.d(2xln2)?2xdx D.d(tanx)?cotxdx

4-1函数

f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（ D ）．

A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??)

函数y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 .函数

y?x2?x?6在区间（－5，5）内满足（ A ）

A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升 . 函数

y?x2?2x?6在区间(2,5)内满足（D ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 5-1若

f(x)的一个原函数是

1x，则

f?(x)?（D ）． A. lnx B.

?1x2 C. 1x D. 2x3 .若F(x)是 f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。 A?xaf(x)dx?F(x)?F(a)b B?aF(x)dx?f(b)?f(a)

Cf?(x)?F(x) D?baf?(x)dx?F(b)?F(a)

5-2若f(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ B ）． A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c

下列等式成立的是（D ）． A. ?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x) C. d?f(x)dx?f(x) D. ddx?f(x)dx?f(x) ddx?x2f(x3)dx?（ B ）． A. f(x3) B. x2f(x3) C. 13f(x) D. 13f(x3) ddx?xf(x2)dx?（ D ） A xf(x2) B 12f(x)dx C 122f(x) D xf(x)dx ⒌-3若?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（ B ）． A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D. 1xF(x)?c 补充： ?e?xf(e?x)dx? ?F(e?x)?c??, 无穷积分收敛的是 ?11x2dx 函数

f(x)?10x?10?x的图形关于 y 轴 对称。

二、填空题 ⒈函数f(x)?x2?9x?3?ln(1?x)的定义域是 （3，+∞） ．

2

函数

y?xln(x?2)?4?x的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ]

函数f(x)?ln(x?5)?12?x的定义域是 （－5，2）

若函数f(x)???x2?1,x?0，则f(0)? 1 ?2x,x?0． ?12若函数f(x)???(1?x)x,x?0，在x?0处连续，则k? e

．

??x?k,x?0?.函数f(x)??sin2x?xx?0在x?0处连续，则k? 2

??kx?0函数y???x?1,x?0?sinx,x?0的间断点是 x=0 ． 函数y?x2?2x?3x?3的间断点是 x=3 。 函数y?11?ex的间断点是 x=0 3-⒈曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ． 曲线f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 ． 曲线f(x)?ex?1在（0，2）处的切线斜率是 1 ． .曲线f(x)?x3?1在(1,2)处的切线斜率是 3 ． 3-2 曲线f(x)?sinx在(π2,1)处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4.函数y?ln(1?x2)的单调减少区间是 （－∞，0 ） ． 函数f(x)?ex2的单调增加区间是 （0，+∞） ． .函数y?(x?1)2?1的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ． .函数f(x)?x2?1的单调增加区间是 （0，+∞） ． 函数y?e?x2的单调减少区间是 （0，+∞） ． 5-1d?e?x2dx? e?x2dx ． .ddx?sinx2dx? sinx2． ?(tanx)?dx? tan x +C ． 若?f(x)dx?sin3x?c，则f?(x)? －9 sin 3x ． 5-2 ?33(sin5x?1)dx?1xde?32? 3 ． ?1x2?1dx? 0 ． dx?1ln(x?1)dx? 0 下列积分计算正确的是（ B ）．

A

?1xx1?1(e?e?)dx?0 B?(ex?e?x)dx?0 C?1x2?1?1dx?0 D

?1?1|x|dx?0

三、计算题

（一）、计算极限（1小题，11分）

（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。

3

（2）利用连续函数性质：f(x0)有定义，则极限limx?xf(x)?f(x0)

0类型1： 利用重要极限 limsinxx?0x?1 ， limsinkxx?0x?k， limtankxx?0x?k 计算

sin61-1求limsin6xxsin5x． 解： limsin6xx?0x6 x?0sin5x?limx?0?sin5x?5x1-2 求 limtanxtanx1tanx1x?03x 解： limx?03x?3limx?0x?3?1?13 1-3 求limtan3xx?0x 解：limtan3xtan3xx?0x=limx?03x.3?1?3?3 类型2： 因式分解并利用重要极限 limsin(x?a)x?a(x?a)?1， limx?ax?asin(x?a)?1 化简计算。 2-1求limx2?1(x?1)． 解： x2?11)x??1sin(x?limx??1sin(x?1)=limx??1sin(x?1).(x?1)?1?(?1?1)??2 2-2limsin?x?1?x?1x2?1 解： limsin(x?1)sin(x?1)111x?1x2?1?limx?1(x?1).(x?1)?1?1?1?2 2-3limx2?4x?3x?3sin(x?3) 解： limx2?4x?3(x?3)(x?1)x?3sin(x?3)?limx?3sin(x?3)?limx?3(x?1)?2 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限 3-1 limx2?6x?8x2?6x?8(x?4)(x?2)x?22x?4x2?5x?4 解： limx?4x2?5x?4=limx?4(x?4)(x?1)?limx?4x?1?3 3-2 limx2?x?6x??3x?x?12 limx2?x?6?x?3??x?2?x?252 x??3x2?x?12?limx??3?x?3??x?4??limx??3x?4?7 3-3 limx2?3x?2x2?3x?2(x?2)(x?1)x?11x?2x2?4 解 limx?2x2?4?limx?2(x?2)(x?2)?limx?2x?2?4 1其他： lim1?x2?1x2sinxsinsinx?lim2sinx?0， x?0x?0limx?0x?1?1?limx?01?2 2xlimx2?6x?5x22x2?6x2x22x??x2?4x?5?limx??x2?1， lx?im?3x2?4x?5?limx??3x2?3 tan8x（0807考题）计算limtan8xtan8xx?0sin4x． 解： limx?0sin4x=limxx?0sin4x.?84?2 x（0801考题. ）计算limsinxsinxx?02x． 解 limx?02x?12limsinxx?0x?12 （0707考题.）limx2?2x?3(x?1).(x?3)x??1sin(x?1)=limx??1sin(x?1)?1?(?1?3)??4 （二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）

（1）利用导数的四则运算法则

(u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv?

（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式

4

(lnx)??1x (xa)??axa?1 (ex)??ex (eu)??eu.u? (sinx)??cosx22(cosx)???sinx(ex)??ex.(x2)??2xex2sinx(tanx)??sec2x (e)??esinx.(sinx)??esinxcosx (cotx)???csc2x(ecosx)??ecosx.(cosx)???ecosxsinx(sinu)??cosu.u?(cosu)???sinu.u?(sinx2)??cosx2.(x2)??2xcosx2 (cosx2)???sinx2(x2)???2xsinx2 (sinex)??cosex.(ex)??excosex(cose)???sinex.(ex)???exsinex 类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1

y?(xx?3)ex ?313 解：y?＝?3??x2?3???ex????x2?3????ex???32x2ex???x2?3??ex??313?x????2x2?x2?3??e 1-2 y?cotx?x2lnx 解：y??(cotx)??(x2lnx)???csc2x?(x2)?lnx?x2(lnx)???csc2x?2xlnx?x

1-3 设y?extanx?lnx，求y?． 解： y??(extanx)??(lnx)??(ex)?tanx?ex(tanx)??1xx21x?etanx?esecx?x

类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 y?sinx2?lnx，求y? 解：y??(sinx2)??(lnx)??2xcosx2?1x 2-2 y?cosex?sinx2，求y? 解：y??(cosex)??(sinx2)???sinex.(ex)??cosx2.(x2)???exsinex?2xcosx2

2-3 y?ln5x?e?5x，求y?， 解：y??(ln5x)??.(e?5x)??5xln4x?5e?5x 类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 y?ex2cosx，求y? 。 解：y??(ex2)?cosx?ex2(cosx)??2xex2cosx?ex2sinx

其他：y?2x?cosxx，求y?。 解：y??(2x)??(cosx(cosx)?.x?cosx.(x)?xsinx)??2xln2?x2?2xln2?x?cosxx2 0807.设y?esinx?sinx2，求y? 解：y??(esinx)??(sinx2)??esinxcosx?2xcosx2

0801.设y?xex2，求y? 解：y??(x)?ex2?x(ex2)??ex2?2x2ex2 0707.设y?esinx?x2，求y? 解：y??esinx.(sinx)??(x2)??cosxesinx?2x

0701.设y?lnx?cosex，求y? 解：y??(lnx)??sinex.(ex)??1x?exsinex （三）积分计算：（2小题，共22分） 凑微分类型1：??1x2dx????d(1x) 5

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