通项公式与数列求和全(6)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

anb 1bn 11bn 11 2(b 1)bn 1 2nn b 1 () ∴n ∴an 2 () 2b 22b 2b 2 b 2 b 22

构造3：an 1 pan rq （q 0）思路（构造等比数列）：在an 1 pan rq两边同时除以qn+1 ，转化为类型一。

n

n

1n 1

，求数列{an}的前n项和Sn。 n

n2

aa11a

分析：（I）由已知有n 1 n n 设bn=n bn 1 bn n

n 1n22n

1*

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn 2 n 1(n N)

2

例15．（2009全国卷Ⅰ理）在数列{an}中，a1 1,an 1 (1 )an

nnn

nkk

（II）由（I）知an 2n n 1, Sn= (2k k 1) (2k) k 1

22k 1k 1k 12

n

而

(2k) n(n 1),又

k 1

n

k

是一个典型的错位相减法模型， k 1

2k 1

n

易得

n 2kn 2

4 n(n 1) = 4 S nn 1k 1n 1

22k 12

n

练习：1.（09安徽卷）在数列 an 中，a1 1，an 1 2an 2,求数列 an 的通项公式. 2．已知a1 2，an 1 4an 2

n 1

，求an的通项。

构造4：an 1 pan qan 1（p,q为常数且p 1，q≠0）

设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)，即an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p，xy= -q，解得x，y，于是

｛bn｝就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan），转化为类型一来解决。 例16（09全国卷Ⅱ理）设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1 1,Sn 1 4an 2，求数列{an}的通项公式。 解：（I）由Sn 1 4an 2，．．．① 则当n 2时，有Sn 4an 1 2．．．②

①

－②得an 1 4an 4an 1, an 1 2an 2(an 2an 1)

设bn=an-2an-1，由a1 1,及Sn 1 4an 2，

有a1 a2 4a1 2,a2 3a1 2 5, b1 a2 2a1 3又 bn an 1 2an， bn 2bn 1

{bn}是首项b1 3，公比为２的等比数列．

（II）由（I）可得bn an 1 2an 3 2 数列{

n 1

，（转化为类型二）

an 1an3

n n 1

224

an13

是首项为，公差为的等差数列．

242n

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