通项公式与数列求和全(5)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

3. （2008四川卷）设数列 an 的前n项和为Sn，已知ban 2 b 1 Sn，求 an 的通项公式 。

n

（Ⅰ）当b 2时，求证：{an n 2n 1}是等比数列； （Ⅱ）求an通项公式．

解析：由题意，在ban 2n (b 1)Sn中，令n 1，得ba1 2 (b 1)a1，a1 2． 由ban 2n (b 1)Sn

得ban 1 2n 1 (b 1)Sn 1(n 2,n N*) 两式相减得：b(an an 1) 2n 1 (b 1)an

即an ban 1 2n 1(n 2,n N*) ① （Ⅰ）当b 2时，由①知，an 2an 1 2n 1 于是an n 2n 1 2an 1 (n 1) 2n 1

2[an 1 (n 1) 2n 2](n 2,n N*)

又a1 1 21 1 1 0，所以{an n 2n 1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅰ）变：当b 2时，求an的通项公式．解法如下：

解：当b 2时，由①知，an 2an 1 2n 1

anan 11

n 1 (n 2,n N*) n222anan 11 (n 2,n N*) 2n2n 12aa11

1 ∴{n是等差数列，公差为，首项为n

222

a11 1 (n 1) (n 1) ∴n2n22

∴an (n 1)2n 1（∴an n 2n 1 2n 1，∴{an n 2n 1}是等比数列，首项为1，公比为2）

两边同时除以2得

n

（Ⅱ）当b 2时，由（Ⅰ）知，an n 2n 1 2n 1，即an (n 1) 2n 1

当b 2时，由①：an ban 1 2n 1 两边同时除以2得

anban 11 2n22n 12aban 1

( ) ② 可设n2n22n 1aanban 11ban 1b 2 n 1 比较， 展开②得n，与nn 1n22222222b 211

，∴ 得． 22b 2a1ban 11 ( ) ∴nnn 12b 222b 2a1b1b 1 }1 ∴{n是等比数列，公比为，首项为 n

2b 22b 2b 2a1b 1bn 1

() ∴n

2nb 2b 22

n

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