Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
双曲线x2y2
1.a2 b
2 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于
Px2y2
1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a2 b
2 1.
过双曲线x2y2
2.a2 b
2 1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C两点，则直线BC有定向且kb2x0
BC a2y（常数）.
0 若P为双曲线x2y2
3.a2 b
2 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2 ,
PFa2F1 ，则
c c a tan 2cot 2（或c a
c a tan2cot2
）. 设双曲线x2y2
4.a2 b
2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
在△PFsin 1F2中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2
P ，则有 (sin sin ) c
a
e. 若双曲线x2y2
5.a2 b
2 1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e
1
时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为双曲线x2y2
6. a2 b
2 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
|AF2| 2a |PA| |PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线x2y2
a2 b2 1（a＞0,b＞0）与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是
A2a2
B2b2 C2.
x2y2
8. 已知双曲线a2 b
2 1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ.
（1）1|OP|2 1|OQ|2 1a2 14a2b2b2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为b2
a2;（3）Sa2b222
OPQ的最小值是b2 a2. 过双曲线x2y2
9.a2 b
2 1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂
直平分线交x轴于P，则|PF|e
|MN| 2.
已知双曲线x2y2
10.a2 b
2 1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相
a2 b2a2交于点P(x b2
0,0), 则x0 a
或x0 a.
11. 设P点是双曲线x2y2
a2 b
2 1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1PF2 ，
|PF2b2则(1)2
1||PF2| 1 cos
.(2) S PF1F2 bcot2.
12. 设A、B是双曲线x2y2
a2 b
2 1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点， PAB ,
PBA , BPA ，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA| 2ab2|cos |
|a2 c2cos2 |
.
(2) tan tan 1 e2
.(3) S2a2b2 PAB b2
a2cot . x2y2
13. 已知双曲线a2 b
2 1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与
双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
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