Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
x22
0xa2 y0yx0y0b2 a2 b
2. P,yx2y2
13. 若0(x00)在双曲线a2
b
2 1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2a2 b2 x0xy0ya2 b
2. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
x2y2
1. 椭圆a2 b
2 1（a＞b＞o）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时
A与Ax2y2
1P12P2交点的轨迹方程是a2 b
2 1.
x2 过椭圆y2
2.a2 b
2 1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，
则直线BC有定向且kb2x0
BC a2y（常数）.
03. 若P为椭圆x2y2
a2 b
2 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2 ,
PFa c2F1 ，则
a c tan
2cot2
. 4. 设椭圆x2a y2
2b
2 1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2
中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ，则有
sin sin sin c
a
e.
x2y2
5. 若椭圆a2 b
2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e
1时，可在
椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆x2y2
a2 b
2 1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2a |AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
7. 椭圆(x x0)2(y y2
a2 0)b
2
1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.
已知椭圆x2y2
8.a2 b
2 1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.（1）
1|OP|2 1|OQ|2 1a2 1b2;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为4a2b2a2b2a2 b2;（3）S OPQ的最小值是a2 b2.
x2y2
9. 过椭圆a2 b
2 1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x
轴于P，则|PF|e
|MN| 2.
10. 已知椭圆x2y2
a2 b
2 1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
P(xa2 b2a2 b2
0,0), 则 a x0 a. x2y2
11. 设P点是椭圆a2 b
2 1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1PF2 ，则
(1)|PF 2b22
1||PF2|1 cos
.(2) S PF1F2 btan2.
A、B是椭圆x2y2
12. 设a2 b
2 1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB ,
PBA , BPA ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA| 2ab2|cos |
a2 c2cos2
.(2) tan tan 1 e2
.(3) S2a2b2 PAB b2
a2
cot . 13. 已知椭圆x2y2
a2 b
2 1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交
于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
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