中国数学奥林匹克希望联盟夏令营第二天考试部分答案(2)

2 二、（本题满分50分）

在n m ?的方格中，每一格染红白两色之一，已知对任意的j i ,，在第i 行与第j 列的1-+n m 个方格中，与方格),(j i （第i 行及第j 列交叉的方格）同色的方格数目，小于另一种颜色的方格数，求证：mn 是4的倍数.

证明：无妨设方格表中的红格数目≥L 白格的数目，则2

mn L ≥ 设第i 行中红格数目为i x ，第j 列的红格数目为j y ，若方格),(j i 为红色，则有条件知道： )()(1j i j i y m x n y x -+-<-+所以2

1++<+n m y x j i ， 若n m +为偶数，则2n m y x j i +≤+，若n m +为奇数，则也有2

n m y x j i +≤+； 故总有2

n m y x j i +≤+；① 将①中不等式对所有的L 个红格),(j i 求和，则每个i x 出现i x 次，每个j y 出现j y 次，2

n

m +出现L 次，得到L n m y x n j j m i i ?+≤+∑∑==21212

② 另一方面，由柯西不等式知，上式左边n

L m L y n x m n j j m i i 222121)(1)(1+=+≥∑∑== 综合②知，2n m n L m L +≤+，故2mn L ≤，因此由2

mn L ≥知， 必有2mn L =，从而mn 为偶数，上述不等式均化为等式，特别的由①2

n m y x j i +=+，所以n m +为偶数，即n m ,的奇偶性相同。因为mn 为偶数，故n m ,都是偶数，所以mn 为4的倍数；

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