希尔伯特空间(6)

数学

泛函I（f）的范数定义为 sup|I（f）|/‖f‖，for all f∈H。它的一个等价定义是sup|I（f）|，for all f∈H such that ‖f‖=1，也就是单位球面上的极大值。

从定义立刻可以看到，|I（f）|≤‖I（f）‖*‖f‖。

二、定理

1、完备的线性赋范空间上线性泛函的有界性与连续性等价。——可以推广到算子，并且Hilbert space是完备的线性赋范空间（Banach space）的一个特例。

2、Hilbert space上线性连续泛函可以完全由内积表示，并且这种表示是一一对应的。

3、Hilbert space上存在一组正交标准基（f_1，f_2，....），使得所有g∈H均有一个表示：g=∑a_n*f_n，其中的a_n 叫做第n个投影或者坐标值，a_n=<g，f_n>。

4、自反空间（Hilbert space是其中一种）的有界序列必有弱收敛子序列，这个性质叫做弱紧性。

5、任何H上的闭线性子空间M均满足射影性质：对任意点 f∈H，存在 g∈M，h∈M的线性补空间，使得 f=g+h。

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