华南理工大学2012级高数下期末试题(有答案)(5)

2）求幂级数

3

n 1

1 2

n

n

xn

的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。 n

1

3n 1 2

解：1）先求收敛半径，因为lim

n 1

3n 2

n

n

1 2

1 n 1n3 1

limnn n 113 2

3 2 n 3

此幂级数收敛半径为3，收敛区间为 3,3 ， 当x 3时，

3

n 1

1 2

n

n

3n 2 2 1xn13n

nn

nn 13n 2 nnn 1n3 2

nn

n

1 1 2n

nn n 3 2 n 1n

因为

2n3n 2

nn

12 n nn3 2

2 2 2

，级数 3 3 收n

3 3 n 1 2 3

1 3

1

nnn

敛，由比较判别法级数此幂级数发散； 当x 3时，

3

n 1

2n 2

n

1

n

n

n

绝对收敛，由于

n发散，因此x 3是

n 1

1

3

n 1

1 2

n

n

3 3n 2 2 xn1

nnn 13n 2 nn3n 2 n 1

nnn

1

n

n

nn 1 n 1 21 n, ，因为级数 n

n3 2 n n 1n 1 n

敛所以x 3时，此幂级数收敛。

3

n 1

2n 2

n

n

1收n

2

3）将函数y ln1 x 2x展成关于x的幂级数，并指出收敛区间。

解：y ln1 x 2x

2

2x4x x1 1 2x2 1 x1 1

2

11nn

2 x 2 2x

1 x1 2xn 0n 0

x

1

2

1

n 0

2

n

2n 1xn

x

x

1 2

ln 1 x 2x

ln 1 t 2t

2

dt

n 0

1 0

x

n

2n 1tndt

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