华南理工大学2012级高数下期末试题(有答案)(3)

P Q

，所以此曲线积分与路径无关 x2

y x

原式

3 3 xxx

3xedx ysiny dy 3xe 3e y ycosy siny 00

3 3 0

2

2

3 1 e 3

23

2co s23

s in2

七、（本题8分）计算曲面积分

其中

是上半球面z

2x

3

xy2 dydz 2y3 yz2 dzdx 2z3 zx2 dxdy，

a 0 的上侧。

222

解：取曲面 1:z 0x y a并取下侧，利用高斯公式得

原式

5 x2 y2 z2 dv 2x3 xy2 dydz 2y3 yz2 dzdx 2z3 zx2 dxdy

1

5 d 2d 4sin d 2 a5。

2

a

八、（本题7分）求定解问题tanx

dy

2ecosx y 0,y dx

x

2

1的解。

解：方程化为y cotx y 2ecosx

cotxdx cosx cotxdx lnsinx

y e 2eedx C e

2e

cosxlnsinx

edx C

1

sinx

2sinxe

coxs

2ecoxs Cdx C

sinx

3 2ecosx

,y 1得C 3，所求特解为y 由x 。 2sinx

九、（本题7分）求微分方程y 4y e的通解。

解：1）求y 4y 0的通解，

解特征方程r 4r 0得，r1 0,r2 4， 其通解为y C1 C2e4x

*4x

2）因为 4单特征根，所以原方程有形如y axe的特解，

2

4x

代入原方程得

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