计算旋转体体积的一般积分公式(3)

第５卷第４期姬小龙；计算旋转体体积的一般积分公式１３

而曲线（ｃ）：｛；三；：：为光滑曲线，故窑在豳，６］上连续，积分可得

地）５历南Ｊ。Ｉ＾ｙⅧ’一Ｂｘ％’ｌ出，８≤‘≤６

结论３。的简证：Ｖ：ｔ∈■，６］，ｚ给出使ｔ＋△∈■，６］，则有

忡忙丝絮舻 扣ⅡＩＩＰＰ个烈＝石Ｆ南［Ａｚ（ｆ）＋Ｂｙ（ｔ）＋ｃ］２ｌＡｙ’（｝）一Ｂｘ’ｏ）Ｉｄｔ

而曲线（ｃ）是光滑曲线，窑在ｋ，６］上连续，积分可得（３）式．在（３）式中令ｆ一６便得推论１．推论

２易见．

４应用举例

例１求函数Ｙ—ｚ２＋１（ｏ≤ｚ≤１）绕直线．２７—２ｙ一０旋转所成旋转体的体积．

解由公式（５）可得

Ⅳ＝击肛叫蚪１）］讹ｚ制ｄ－ｒ一訾”

例２求圆一＋＿），。一２ｙ一０绕直线ｘ—Ｙ一２—０旋转一周所成旋转体的体积（轮胎体）

解将圆表成参数方程：

｛。ｌ＝三。Ｏ＋ＳｔＹ

、

１牟

ｓｉｎｔ（三４≤ｆ＜警）

４

剪成两个半圆：

ｃｃ山髓髯咖。ｃ｛≤ｒ＜警，ｃｃ：ｋ

ｃｏｓｔ

ｘ一２

ｓｉｎｔ（警≤ｒ＜警，

分别计算这两个半圆绕直线所成旋转体体积：

缈，一卉霹。（ｃｏｓｔ－－ｓｉｎｔ－－３）：ＩＣＯＳｔ－－ＳｉＯｔ陋一警＋半矿耻赤詹（ｃｏｓｔ－－ｓｉｎｔ－－３）ｚｌｃｏｓｔ－－ｓｉｎｔ协一半一竽一

所求旋转体的体积

Ⅳ：Ⅳ，一Ｗ，；３／虿扩

参考文献

［１］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８，３４５～３５０．［２］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８０，３０３～３０７．［３］梅向明黄欹之．微分几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９８１，６０～７８．

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