计算旋转体体积的一般积分公式(2)

１２

高等数学研究２００２年１２月

１主要结论

下面给出弧长函数、投影长函数和旋转体的体积函数在参数表示意义下的表达式，最后得出旋转体体积计算的一般积分公式．

定理设曲线（ｃ）：ｆ２—２：。：（。≤ｆ≤Ｙ）为平面光滑曲线，直线ｚ：Ａ。＋Ｂｙ＋Ｃ一０与曲线ｌＹ—ＹＬＩ

Ｊ

（ｃ）共面且它的任意垂线与曲线（ｃ）至多有一个交点．则

ｒ弧长函数Ｓ—Ｓ（ｆ）可表为

鼬）一ｆ扫葡下玎黜，ｆ一。３。≤ｆ≤ｙ）

。４

（１）

ＩＹ—Ｙ‘ｚ，

２。投影长函数Ａ一＾（ｆ）可表为

椭’一万寿面Ｊ。ｌＡｙⅦ’一删‘‘’ｌ出“≤‘≤ｙ

３。旋转体的体积函数可表成

‘２’

Ｖ（‘’石矿＿ｊ≥百百而Ｊ。［Ａ卫（ｆ）＋Ｂ３心）十ｃ］２Ｉ以ｙ７“）一Ｂｘ’（ｆ）ｌ出，ｎ≤ｒ≤ｙ

旋转体的体积的积分公式为

（３）

推论１平面光滑曲线（ｃ）：｛。２。ｙ？（。≤ｆ≤，）绕直线ｆ：ＡＴ＋Ｂｙ十ｃ一０旋转一周所成ｌＪ＝Ｙ～ｆ，

Ⅳ＝石Ｆ１｝百可两Ｊ。［Ａｚ（￡）＋Ｂｙ（ｔ）十Ｃ３。ｊ＾Ｊ’ｏ）一Ｂｘ’“）Ｊｄｔ

转体的体积的积分公式为

（４）

推论２平面光滑曲线弧（Ｃ）：Ｙ＝，扛），口≤ｔ≤ｙ绕直线ｆ：Ａｘ＋Ｂｙ十Ｃ一０旋转所成旋

佴７一石驴－二簖Ｊ。［＾ｚ（￡）＋Ｂｙ（ｔ）＋ｃ］２

１、Ａ２＋Ｂｚ

’

Ｉ＾，’ｏ）一Ｂｘ’ｏ）Ｉｄｔ

（５）

２主要结论的证明

定理的证明：结论１。在教材“’３］中都有．现证结论２。．Ｖ：ｆ∈［ｎ，６］，给血使ｔ＋Ａｔｆｉ－■，６］，曲

线（Ｃ）上相应于ｔ与ｆ＋出的点的坐标为Ｐｏ，ｙ），Ｑ（ｘ＋△ｒ，Ｙ＋ｎ。，），直接计算得Ｐ，Ｑ在直线ｚ

上的投影Ｐ『，Ｑ’的坐标：

Ｐ，ｆ二墨墅±墨！兰＝墨！．＝墨墨！±墨垒＝墨！、“

Ａｚ＋Ｂ２

叭型业型掣箍掣业，型丝型掣箍ｐ业）

丽一±ＩＰ＇引一士号番掣，

其中当，ｆｉｔ＞０时取正号；当出＜０时取负号

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