计算旋转体体积的一般积分公式

Ｖ０１．Ｓ，Ｎｏ．４Ｄｅｃ．．２００２

ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ

高等数学研究

１１

计算旋转体体积的一般积分公式＋

姬小龙（济源职业技术学院数学教研室

０引言

河南济源４５４６５０）

本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数，平面曲线（图形）绕一共面直线旋转所得旋

转体的体积函数，给出了它们的积分表示式，进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。

关于旋转体体积的计算问题，一般标准分析教材“１“中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋

转体的体积的积分公式，为了应用上的便利本文将其推广，给出平面图形绕任一共面直线旋转所得

旋转体体积计算的一般积分公式。

一般认为平面曲线是（开）直线段到平面内的一一的，双方连续的，在上映射的象［３］．在直线段ｎ≤，≤６上引入坐标ｔ，在平面上引入笛卡尔直角坐标（ｚ，ｙ），则平面曲线的参数表示（方程）是

ｆｆ＝ｒ“）

、

｛

ＩＹ—Ｙ“）

．．∞≤ｆ≤６）或ｒ—ｒ（ｆ）（ｄ≤ｔ≤６）

设曲线（ｃ）｛上一ｚ：‘？（口≤ｆ≤Ｊ）为平面简单光滑血线段，ｚ：Ａｚ＋Ｂ，＋ｃ一０为曲线（ｃ）所

【Ｙ—Ｙｔ￡Ｊ

在平面上的直线，且假定直线１的任意一条垂线与曲线（ｃ）至多有一个交点，下同，如图所示．

对直线段ｎ≤ｆ≤ｂ的任一点ｆ，都有曲线（ｃ）上的点尸与之对应，过Ｐ作直线ｆ的垂线，Ｐ『为垂足，这样Ｐ，又与，相对应，反之，对直线ｚ上的线段Ｍ’Ⅳ’上的任一点尸７，过Ｐ’作直线ｆ的垂线交曲线（Ｃ）于Ｐ，Ｐ与Ｐ『相对应．而曲线段（Ｃ）是直线段ｎ≤ｔ≤ｂ到平面的一一的双方连续的在上映射的

一

ｙＪ

ｔ／

６

Ｄ

口

象，故在直线段ｄ≤ｔ≤６上有唯一确定的ｆ与之对应，这样便在直线段４≤￡≤６、曲线（Ｃ）与直线

ｆ上的线段ＭＩＮ’三者之间建立了一一对应的关系，记为：ｆ～Ｐ—Ｐ『ｏ一肘一Ｍ７６÷＋Ⅳ一Ⅳ’）其中肘’、Ⅳ’、Ｐ７、Ｑ７分别是曲线（ｃ）上点Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ在直线上的垂足（投影）．

，～

对于直线段ｎ≤￡≤ｂ上的任意￡，存在唯一确定的实数（弧ＭＰ的弧长）与之对应，这样定义的

一

蕊

’

函数称之为曲线（ｃ）的弧长函数，记作：Ｓ＝Ｓ（Ｄ，口≤ｔ≤ｂ．

对于直线段ｎ≤ｔ≤ｂ上的任意￡，存在唯一确定的实数（线段Ｍ７Ｐ，的长）与之对应，这样定义的函数称之为曲线段（ｃ）在直线ｚ上的投影长函数，记作：＾＝Ａ（ｆ），ｎ≤ｆ≤６．

对于直线段ｎ≤￡≤ｂ上的任意ｔ，有唯一确定的实数（平面图形Ⅳ’Ｐ７ＰＭ绕直线ｆ旋转所成旋转体的体积）与之对应，这样定义的函数称之为益线绕直线旋转确定的旋转体的体积函数，记作：ｙ

＝Ｖ（ｆ）ｍ≤ｔ≤ｂ．

收稿日期：２００２

ｎ１２９．

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