名校必备浅谈高考数学之圆锥曲线与方程

天兵下北荒， 胡马欲南饮。 横戈从百战， 直为衔恩甚。 握雪海上餐， 拂沙陇头寝。 何当破月氏， 然后方高枕

浅谈高考数学之《圆锥曲线与方程》

嘉兴市秀州中学 屠新跃

一、课程标准中的圆锥曲线与方程 1. 圆锥曲线

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质

（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题

（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想 2. 曲线与方程

结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想

二、2009年各地高考（理科）中的圆锥曲线与方程 卷别 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 题号 4 12 21 9 11 21 北京卷 天津卷 重庆卷 浙江卷 福建卷 安徽卷 8 12 19 9 21 15 20 9 21 13 19 3 20

题型 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 填空题 解答题 选择题 解答题 填空题 解答题 选择题 解答题 填空题 解答题 选择题 解答题 主要考查的知识点 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 椭圆的几何性质及向量 抛物线与圆的关系及导数的应用 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 双曲线的几何性质 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量 直线与抛物线的位置关系 椭圆的定义及解三角形 双曲线的定义、性质，与直线的位置关系及圆的切线 抛物线的定义、几何性质 椭圆的方程、几何性质，直线的方程、圆的方程 双曲线的几何性质及解三角形 椭圆几何性质、直线与椭圆、轨迹方程及向量、不等式 双曲线的几何性质及向量 椭圆的方程、直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系 双曲线的几何性质 直线与椭圆的位置关系及数列 1

辽宁卷 江苏卷 山东卷 广东卷 宁夏、 海南卷 湖南卷 湖北卷 四川卷 16 20 13 22 9 22 11 19 4 13 20 12 20 7 20 7 9 20 填空题 解答题 填空题 解答题 选择题 解答题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 填空题 解答题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 解答题 选择题 解答题 填空题 解答题 双曲线的几何性质 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系 直线方程、椭圆方程及其几何性质 直线、抛物线方程、直线与抛物线关系、两点距离公式 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 椭圆方程、直线与圆、直线与椭圆及函数与不等式 椭圆的定义、方程、几何性质 直线与抛物线、直线与圆 双曲线的几何性质、点到直线距离公式 直线与抛物线的位置关系 椭圆的方程、性质、求轨迹方程 双曲线的几何性质 求轨迹方程、直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系 双曲线与椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 抛物线的定义和几何性质、直线与抛物线的位置关系 双曲线的几何性质及向量 抛物线的定义与几何性质 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 椭圆的定义及解直角三角形 直线方程、圆方程、求轨迹方程 椭圆的方程与几何性质 双曲线的方程与几何性质及函数 椭圆的定义、方程及向量 双曲线的几何性质、直线方程及两平行线间的距离 江西卷 陕西卷 上海卷 6 21 7 21 9 21 纵观2009年全国十九份各省、市的数学高考试题，对圆锥曲线与方程的考查，题量以一个填空或选择题，再加一个解答题（即1小1大）的有十六份，而2小1大的只有全国卷Ⅰ、Ⅱ和北京卷三份。

考查的内容主要是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、图形及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系（主要是相交和相切），或与向量、三角、函数、不等式等的结合，及求动点轨迹（方程）等。

从解题方法上看，小题（选择题、填空题）侧重于几何法，以形助数；大题（解答题）则重点考查坐标法，用方程来解决，以数助形；两者“相得益彰”，也使得课标中指出的“体会数形结合的思想”得到了很好的体现。 而小题与大题对内容的考查又是相互补充，即大题若是椭圆的问题，则小题必是双曲线或抛物线的问题了。

三、浙江省考试说明（理科）中的圆锥曲线与方程 （一）2010年考试说明中的圆锥曲线与方程 1. 圆锥曲线

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质

（3）了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质 （4）能解决直线与的椭圆、抛物线位置关系等问题

2

（5）理解数形结合的思想 （6）了解圆锥曲线的简单应用 2. 曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 （二）与2009年考试说明的比较

1. 对圆锥曲线与方程的内容，2009、2010这两年考试说明的条目数量没有变化，其中圆锥曲线（1）（2）（5）（6）与曲线与方程的要求完全相同。 2. 在2009年考试说明中的（3）、（4）两条是这样的：

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 （4）能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题 对照2010年考试说明可以发现：（3）中改变为“?，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质”，将去年的“了解”、“知道”，提升到今年的“掌握”、“理解”，可谓意味深远。而对于（4），把去年考试说明“坐标法”三个字删掉了。

3. 由以上分析，可以推测：双曲线的考查要求较去年会有提高，要适当加深此内容的复习，当然不大可能出现在大题，应还是会在小题中，但难度定会加大，极有可能作为选择或填空题中的压轴题；至于没有了“坐标法”这三个字，不应理解为要丢掉坐标法这个解析几何的“灵魂”，而是要兼顾几何图形、几何性质、几何直观及平面几何等的知识。 四、部分试题分析 （一） 双曲线部分

例1. (2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为 解：虚轴的一个端点、一个焦点及原点组成直角三角形，且一个内角是30，两直角边分别是b,c，得

00bc?tan30?，c?3b，所以a?2b，离心率e??ca32?6 2x2y2??1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上例2.（2009辽宁卷理）已知F是双曲线

412的动点，则PF?PA的最小值为

////解：右焦点为F(4,0)，由定义得PF?PF?2a?4，而PA?PF?AF?5，

两式相加得PA?PF?9，当且仅当A,P,F三点共线时取到最小值为9 点评：前两题考查的是双曲线的定义与离心率，但主要借助平面几何的知识

/x2y22例3.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x?1ab相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A）3 （B）2 （C）5 （D）6

3

解法1：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y'|x?x0?2x0.由题意有

y0?2x0又y0?x02?1 x0得: x0?1,?2bb?2,e?1?()2?5 aa22b?y?xbxy?解法2：双曲线2?2?1的一条渐近线为y?x,由方程组?a,消去y得

aab2??y?x?1bb2bca2?b2bx?x?1?0有唯一解,△=()?4?0,?2,e???1?()2?5aaaaaa

2点评：通过双曲线渐近线和离心率，考查直线与抛物线相切的情形，可用两种常规方法解决 （二） 椭圆、抛物线

y2x2例4：（2009浙江卷理）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右顶点为A（1,0），过C1yab的焦点且垂直长轴的弦长为1．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（解略：椭圆C1：

P?MAy?x2?1）． 42xON（Ⅱ）设点P在抛物线C2:y?x2?h(h?R)上，C2在点P处的 切线与C1交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值． 不妨换个角度思考（Ⅱ）

2由于y??2x，设P(t,t?h)， 显然t?0，点P处切线的斜率k?2t， P处切线方程：

y?2t(x?t)?t2?h，线段AP中点的横坐标是

设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则k?221?t，问题转化为探求h与t的关系． 2y2?y1，由已知x1?x2?1?t．M、N既在椭圆上，

x2?x122又在点P处的切线上，得：4x1?y1?4①，4x2?y2?4②， y1?2t(x1?t)?t2?h③，y2?2t(x2?t)?t?h④；将②－①，得4(x2?x1)(x2?x1)??(y2?y1)(y2?y1)，

24(x2?x1)??k(y2?y1)，4(1?t)??2t(y2?y1)，这就要求式子y2?y1与h、t的关

系；③+④得：y2?y1?2t(x2?x1)?2t?2h?2t(1?t)?2t?2h?2t?2h，再代入上式得：h??(t??1)，求这个函数的值域，先要求t的取值范围，即寻求关于t的一个

221t 4

不等量关系．根据MN的中点E必须在椭圆内，由上得E(1?t1,??1)，则E点满足：2t111211(t2?2?2)?2(t?)?4，代入得： (t?)?2(t?)?4，设u?t?，4x2?y2?4，

ttttt2则h??u?1，由u?2u?4?0得?1?5?u??1?5，又因为u?t?1?2， 求t得?1?5?u??2，则1?h?5，所以h的最小值为1．

点评：处理解析几何题，只有在“计算”上的功夫还不够。而要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点，要随时调用函数、不等式等的知识。

例5. （2009广东卷理）已知曲线C:y?x2与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和

B(xB,yB)，且xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区

域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． （1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

51?0与D有公共点，试求a的最小值． 25152解：（1）联立y?x与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，设线段PQ的

2215?s?t15中点M坐标为(x,y)，则x?2，即s?2x?,t?2y?，又点P在曲,y?22222512112线C上，∴2y??(2x?)，可得y?x?x?，又点P是L上的任一点，且不与

228115点A和点B重合，则?1?2x??2，即??x?，∴中点M的轨迹方程为

2441115yy?x2?x?（??x?）. 84451222xB ?0， （2）曲线G:x?2ax?y?4y?a?254922即圆E：(x?a)?(y?2)?，其圆心坐标为 xA D 257oxE(a,2)，半径r?，由图可知，当0?a?2时， 551222?0与点D有公共点； 曲线G:x?2ax?y?4y?a?2551222?0与点D有公共点，当a?0时，要使曲线G:x?2ax?y?4y?a?只需圆心E到25（2）若曲线G:x?2ax?y?4y?a?222直线l:x?y?2?0的距离d?

|a?2?2|2?|a|2?772?a?0，则a的最小值，得?555

为?72. 5点评：解析几何的第一要义是用方程讨论曲线。另一方面，要充分利用图形已知的几何特征与性质，适度加强几何直观。才是合理运用“数形结合”思想的本质。

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