Matlab结合窗函数法设计数字带通FIR滤波器(3)

武汉理工大学《MATLAB课程设计》报告

2 各类窗函数简介

数字信号处理领域中所用到的窗函数主要分为两大类，分别是：基本窗函数与广义窗函数。

2.1 基本窗函数

基本窗函数包括以下三类，主要有：矩形窗函数、三角窗函数和巴特利特窗函数。下面就对这些窗函数展开介绍。

2.1.1 矩形窗函数

矩形窗(Rectangular Window)函数的时域形式可以表示为：

?1,w(n)?RN(n)???0,它的频域特性为

0?n?N?1 （公式2-1）

WRe?j???e?N?1??j???2????N?sin??2?? （公式2-2）

???sin??2??Boxcar函数：生成矩形窗

调用方式w = boxcar (n)：输入参数n是窗函数的长度；输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。从功能上讲，该函数又等价于w = ones(n,1)。

2.1.2三角窗

三角窗（Bartlett Window）函数时域形式可表示为：

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?2n?N?1w(n)?? BR2n?2?,N?1?

窗谱为： W?ej?????N?1???sin?????2???4????N?1????sin????2??20?n?1212(N?1) （公式2-3）

(N?1)?n?N?1???N?????sin????j?N?1??N?1??????24??j??????2??2??e?e???N???sin??????2????2 （公式2-4）

式中，当N远大于1时，此时，窗谱主瓣宽度为8?/N。

2.2 广义余弦窗

汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗，都可以用一种通用的形式表示，这就是广义余弦窗。这些窗都是广义余弦窗的特例，汉宁窗又被称为余弦平方窗或升余弦窗，海明窗又被称为改进的升余弦窗，而布莱克曼窗又被称为二阶升余弦窗。采用这些窗可以有效地降低旁瓣的高度，但是同时会增加主瓣的宽度。

这些窗都是频率为0、2π/(N–1)和4π/(N–1)的余弦曲线的合成，其中N为窗的长度。通常采用下面的命令来生成这些窗：

Ind??0:N?1??2?π?N?1? （公式2-5）

' Window?A?B?cos(ind)?C?cos(2*ind) （公式2-6）

其中，A、B、C适用于自己定义的常数。根据它们取值的不同，可以形成不同的窗函数，分别是：

汉宁窗 A=0.5，B=0.5，C=0； 海明窗 A=0.54，B=0.54，C=0； 布莱克曼窗 A=0.5，B=0.5，C=0.08；

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2.2.1汉宁窗（升余弦窗）

汉宁窗（Hanning）函数时域形式可表示为： W?n??1??2?n??（公式2-7） 1?cos???RN(n) ?2??N?1??利用傅利叶变换的调制特性，由上式可得汉宁窗的平谱函数为： W?ej????2??2?????j??????0.5WR????0.25?WR?????WR??????eN?1?N?1????????N?1??j????2??N?1???2?

?W???e （公式2-8）

?N?1??j????2?式中， WR?ej???WR???e (公式2-9)

当N远大于1时，上式可近似表示为： W????0.5WR????0.25?WR???????2???2???（公式???WR????

N??N??2-10）

这三部分之和使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍，为8π/N。

hanning函数：生成汉宁窗 调用方式：

(1) w = hanning(n)：输入参数n是窗函数的长度；输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。

注意：此函数不返回是零点的窗函数的首尾两个元素。 (2) w = hanning(n,'symmetric')：与上面相类似。

(3) w = hanning(n,'periodic')：此函数返回包括为零点的窗函数的首尾两个元素。

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3方案设计与论证

用窗函数法设计一个FIR带通滤波器。指示如下： 低端阻带截止频率 wls = 0.2*pi； 低端通带截止频率 wlp = 0.35*pi； 高端通带截止频率 whp = 0.65*pi； 高端阻带截止频率 whs = 0.8*pi； 六种窗函数的基本参数如表1-2：

窗函数 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 哈明窗 布莱克曼窗 凯塞窗(??7.865) 旁瓣峰值幅度/dB 过渡带宽 阻带最小衰减/dB -13 -25 -31 -41 -57 -57 4π/N 8π/N 8π/N 8π/N 12π/N 10π/N -21 -25 -44 -53 -74 -80 表1-2 窗函数基本参数

以上表格里的参数设置是最佳窗函数设计，根据设计方案的要求，选择一个合适的窗函数进行滤波器的设计，从上表可以看出：最小带阻衰减仅有窗函数决定，不受N的影响，而过渡带的宽度则随窗函数的增加而减小。

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3.1 程序设计法

程序法只以hamming窗为示例，其他窗函数的程序大体相同，只是在window= hanning(N)和hn = fir1(N-1,wc, hanning (N))处要调自己的窗函数即可。

hanning 窗设计程序示例： wls = 0.2*pi; wlp = 0.35*pi; whp = 0.65*pi; wc = [wlp/pi,whp/pi]; B = wlp-wls; N = ceil(8/0.15); n=0:N-1;

window= hanning(N); [h1,w]=freqz(window,1); figure(1); stem(window); axis([0 60 0 1.2]); grid; xlabel('n');

title('Hanning窗函数'); figure(2);

plot(w/pi,20*log(abs(h1)/abs(h1(1)))); axis([0 1 -350 0]); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)');

title('Hanning窗函数的频谱'); hn = fir1(N-1,wc, hanning (N));

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