Matlab结合窗函数法设计数字带通FIR滤波器(2)

武汉理工大学《MATLAB课程设计》报告

3． 滑动平均值法 4． 限幅滤波法 5． 惯性滤波法

数字滤波技术通过数字滤波器实现，从实现方法上可以分为FIR数字滤波器和IIR数字滤波器，按功能可分为低通滤波器（LPF）、高通滤波器（HPF）、带通滤波器（BPF）和带阻滤波器（BSF）。本文主要对FIR滤波器加以介绍。

1.2 FIR滤波器

FIR（Finite Impulse Response）滤波器，即有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位冲激响应是有限的，没有输入到输出的反馈，是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用，FIR滤波器具有以下主要优点：

1.FIR滤波器具有准确的线性相位； 2.FIR滤波器永远稳定；

3.FIR滤波器设计方法一般是线性的； 4.FIR滤波器在硬件上具有更高的运行效率； 5.FIR滤波器启动传输时间只需要有限时间。 FIR滤波器的主要缺点有：

1.FIR滤波器为达到同样的性能要求需要比IIR滤波器高得多的阶数； 2.相应的FIR滤波器的时延比同等性能的IIR滤波器高很多。

FIR滤波器的硬件实现主要有数字集成芯片，DSP芯片FIR滤波器，可编程FIR滤波器，后两者的实际方法主要通过MATLAB软件进行设计，其设计方法多样，形式灵活，能够满足各种要求，并且不受数字集成芯片规格的限制。

FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法、多带和过渡带、约束最小二乘法、任意相应法、升余弦法，其中最常用的是窗函数法。

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1.3 窗函数

窗函数法是设计FIR滤波器的最主要方法之一，实际中遇到的离散时间信号总是有限长的，因此不可避免的要遇到数据截短的问题，在信号处理中，对离散序列的截短是通过序列与窗函数相乘来实现的。

在信号处理中，窗函数是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在光谱分析、滤波器设计以及音频数据压缩等方面有广泛的应用。

常用的窗函数有矩形窗、巴特利特（Bartlett）窗、三角窗、海明（Hamming）窗、汉宁（Hanning）窗、布莱克曼（Blackman）窗、切比雪夫（Chebyshev）窗、凯泽（Kaiser）窗。

1.4 MATLAB结合窗函数设计法原理

数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波器有多种分类，根据数字滤波器冲激响应的时域特征，可将数字滤波器分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。IIR数字滤波器具有无限宽的冲激响应，与模拟滤波器相匹配。所以IIR滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。FIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长序列。它的设计问题实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。FIR滤波器具有严格的相位特性，这对于语音信号处理和数据传输是和重要的。目前FIR滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。常用的是窗函数法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。

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因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N就是系统函数H(z)的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。

要设计一个线性相位的FIR数字滤波器，首先要求理想频率响应Hd(ejw)。

Hd(ejw)是w的周期函数，周期为2?，可以展开成傅氏级数：

?Hd(ejw)?jw?n???hd(n)e?jwn （公式1-1）

使用上述的传递函数去逼近Hd(e反变换：

)，一个理想的频率响应Hd(ejw)的傅立叶

hd(n)?12?2??0Hd(ejw)dj?nd? （公式1-2）

其中hd(n)是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计FIR DF用的h(n)，因为hd(n)一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似hd(n)。

窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。

设x(n)是一个长序列，w(n)是长度为N的窗函数，用w(n)截断x(n)，得到N点序列xn(n)，即

xn(n)?x(n)w(n) （公式1-3）

在频域上则有

XN?e??j??2π1π?πXe?j???W?e?j????? d? （公式1-4）

由此可见，窗函数w(n)不仅仅会影响原信号x(n)在时域上的波形，而且也会影响到频域内的形状。

MATLAB信号工具箱主要提供了以下几种窗函数，如表1-1所示：

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窗 矩形窗 三角窗 海明窗 汉宁窗 布莱克曼 切比雪夫窗 凯塞窗 表1-1 MATLAB窗函数

窗 函 数 Boxcar Triang Hamming Hanning Blackman Chebyshev Kaiser 加矩形窗后的频谱和理想频谱可得到以下结论：

加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况下的过渡带宽是4?/N。N越大，过渡带越窄、越陡；

过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是8.95％，与N无关。工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为：

A(w)?20lg[H(ejw)/H(ej0)]?20lg[H(w)/H(0)] （公式1-5）

这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB和-21dB。其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。

以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函数。

窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定义为： 旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值) （公式1-6） 为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：

(1)主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带。

(2)尽量减少最大旁瓣的相对幅度，也就是能量集中于主瓣，以减小带内、带外波动的最大幅度，增大阻带衰减。

一般来说，以上两点很难同时满足。当选取主瓣宽度很窄时，旁瓣的分量势必增加，从而带内、带外的波动也增加了；当选取最小的旁瓣幅度时，降低了带内、带外的波动，

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但是过渡带的陡度减小了。所以实际采用的窗函数其特性往往是它们的折中，在保证主瓣宽度达到一定要求的前提下，适当牺牲主瓣宽度来换取旁瓣波动的减小。

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