概率论重点及课后题答案9(2)

当??0.10时,查表得u?/2?1.65.

因u?1.88?u?/2?1.65,u落入拒绝域,应否定H0,即在检验水平??0.10下可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.

例2某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:

施肥 34 35 32 33 30 34 未施肥 29 27 32 28 31 32 31

设农场的产量服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著?

???0.10?

解设X为施肥后的产量,Y为施肥前的产量.已知X~N??1,?12?,Y~N??,??.由于总体方差?2222122和?2均未知,应先对方差进行检验,即H0:?12??2,

2. H1:?12??21617由题意可知X??Xi?33, Y??Yi?30

6i?17i?1161722S??(Xi?X)?3.2, S2??(Yi?Y)2?4

5i?16i?121S123.2F?2??0.8

S24已知??0.1,n1?6,n2?7,查表得F?/2?n1?1,n2?1??F0.05?5,6??4.95.

2因为F?F0.05?5,6?,所以接受H0,即认为?12??2. 11提出检验问题,即H0:?1??2,H1:?1??2

t?X?Y?n1?1?S12??n2?1?S22?n1?n2?2??n1n2?2.828 n1?n2已知???0.10?,查表得t??n1?n2?2??t0.1?11??1.3634.

因为t?2.828?t0.1?11?,所以拒绝H0,即认为该种化肥对提高产量的效力显

著.

例3某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照某种遗传模型,其频率之比应为p2:2p?1?p?:?1?p?,问数据与模型是否相符?

2???0.05?

解令p1?p2,p2?2p?1?p?,p3??1?p?,欲检验的假设为H0:数据与模型相符.

设观察到的三类数量分别为n1,n2,n3,其中n1?n2?n3?n,则p的似然函数为

2L?p???p2n1?2????2p?1?p?????1?p?? ?n1?10,n2?53,n3?46?

n2n3?lnL?p?2n1n2?n2?1由于????2n2?0

?ppp1?p1?p2n?n20?53p?12??0.335 解得p的极大似然估计为?2n2182??从而p1?p?0.3352?0.112

?p2?2?p1??p?2?0.335?0.665?0.45 ?p3?1??p统计量观测值为

????2?0.6652?0.44

???2i?13?ni?n?pin?pi?2

222?10?109?0.112??109?0.112?0.801

?53?109?0.45??109?0.45?46?109?0.44??109?0.44

2已知??0.05,自由度n?1?1?3?2?1,查表得?0.05?1??3.84 2由于?2?0.801?3.84????1?,故接受H0,即数据与模型相符.

例4设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在??0.05时是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?

解设该次考试考生的成绩为X,则X~N??,?2?.把从X中抽取的容量为n的样本均值记为X,样本标准差记为S，检验假设H0:??70,H1:??70.则

u?X?70S36?t1??/2?n?1?

已知n?36,X?66.5,S?15,t0.975?36?1??2.0301,所以

u?66.5?70n?t0.975?35??2.0301 15所以接受假设H0:??70,即??0.05时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.

例5某一指标服从正态分布,今对该指标测量8次,所得数据为:68,43,70,65, 55,56,60,72.在以下两种条件下,检验H0:?2?82???0.05?.(1)总体均值?未知;(2)总体均值??60.

解 (1)检验假设H0:?2?82,用?2检验,得

8182X??Xi?54.875, ?n?1?S??(Xi?X)2?652.8

8i?1i?1n?1?S2?故??22??652.8?10.2 822222查表得?0.025?8??17.535,?0.975?8??2.180.因?0.025?8???2??0.975?8?,故接受

H0.

(2)检验假设H0:?2?82,而??60,故

?n?1?S22??(Xi??)2?663

i?18n?1?S2???2??663?10.4 2822由于?0.025?8???2??0.975?8?,故接受H0.

例6从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为9和8的样本分析后,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别如下:

东支X?0.230, S12?0.1337, n1?9

2西支Y?0.269, S2?0.1736, n2?8

假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,对于??0.05,能否认为两支矿脉的含锌量相同?

解设东支矿脉的含锌量为X,X~N??1,?12?;西支矿脉的含锌量为Y,Y~2N??2,?2?;其中?1、?2、?12、?22均为未知参数.

22(1)检验假设H01:?12??2.则 ,H11:?12??2S12F?2~F?n1?1,n2?1?

S22已知n1?9,S12?0.1337,n2?8,S2?0.1736,计算得

F?0.1337?0.7702

0.1736查表得F0.025?8,7??4.90,F0.975?8,7??因

1F0.025?7,8??1 4.5312?F?4.90,故接受假设H01,即认为?12??2. 4.53(2)检验假设H02:?1??2,H12:?1??2,这属于t检验,检验统计量为

t?X?Yn1n2?n1?n2?2?~t?n1?n2?2?

n1?n2?n1?1?S12??n2?1?S222已知n1?9,S12?0.1337,n2?8,S2?0.1736,计算得

t?0.230?0.2699?8?15??0.2180 178?0.1337?7?0.1736查表得t0.025?15??2.1315.因t?2.1315,故接受假设H02,即认为两支矿脉的含锌量相同.

例7在20世纪70年代后期人们发现,酿啤酒时,在麦芽糖干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),于是80年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中所形成的(NDMA)含量(以10亿份中的份数计). 老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3

设两样本分布来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以?1、?2记

对应于新老两过程的总体均值,检验假设

H0:?1??2?2,H1:?1??2?2???0.05?.

解该检验的拒绝域为

????X?Y?2??W??t??t??n1?n2?2??

11?S??W??n1n2??已知n1?12,n2?12,??0.05,查表得t??n1?n2?2??t0.05?22??1.7171. 由已知数据计算得

X?5.25, Y?1.5

2SW2n1?1?S12??n2?1?S2??n1?n2?1?10.25?6.5?0.7283 23t?5.25?1.5?2?11.87?1.7171

110.8845?1212由于t在拒绝域中,故应拒绝H0.

例8某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类产品,各在一周的产品中取样进行分析比较,取使用原料A生产的样品220件,测得平均重量为2.46kg,样本标准差S?0.57kg;取使用原料B生产的样品205件,测得平均重量为2.55kg,样本标准差S?0.48kg,设这两个样本独立,问在??0.05下能否认为使用原料B的产品平均重量比使用原料A大?

解检验假设H0:?1??2?0,H1:?1??2?0. 这个问题是大样本问题,故可近似认为统计量:

Z?X?Y?0?21n1于是检验的拒绝域为

??22~N?0,1?

n2????X?Y?0??W??Z???Z??

2?12?2?????n1n2??

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