2013年高考数学专题复习 椭圆与双曲线的性质 完整归纳(3)

x2y223．若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

ab1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中

项.

x2y224．P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定

abP和A,F2在y轴同侧时，点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

等号成立.

x2y225．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：y?k(x?x0)对称的充要

ab(a2?b2)22条件是x0?2.

a?b2k226．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

?x?asec?28．P是双曲线?（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的

y?btan??12充要条件是e?. 21?tan?x2y229．设A,B为双曲线2?2?k（a＞0,b＞0，k?0,k?1）上两点，其直线AB与

abx2y2双曲线2?2?1相交于P,Q,则AP?BQ.

abx2y230．在双曲线2?2?1中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为

abx2y21?(2?2)b2x22?ab,其中tan???22,当y?0时, ??90. m?22cos?sin?ay?a2b2x2y231．设S为双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲

ab线上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l??S时，有

caa2l2224b2?l2. (x0)min??(c?a?b,e?);当l??S时，有(x0)min?a2bc2ex2y232．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是

abA2a2?B2b2?C2.

(x?x0)2(y?y0)2??1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点33．双曲线

a2b222222的充要条件是Aa?Bb?(Ax0?By0?C).

x2y234．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双

ab

曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?c??e.

?(sin??sin?)ax2y235．经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线

ab2上任一点的切线相交于P1和P2，则|PA1|?|PA2|?b. x2y236．已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

ab4a2b2111122

且OP?OQ.（1）;（3）??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2222b?a|OP||OQ|aba2b2S?OPQ的最小值是22.

b?ax2y237．MN是经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB

ab是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2?2a|MN|.

x2y238．MN是经过双曲线2?2?1（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线

ab2111???. 中心O的半弦OP?MN，则

a|MN||OP|2a2b2x2y239．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任

ab一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的

a2交点N在直线l：x?上.

m40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y242．设双曲线方程2?2?1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y?kx的

abb2''共轭直线y?kx上,而且kk?2.

ax2y243．设A、B、C、D为双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的

ab倾斜角分别为?,?，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则

|PA|?|PB|b2cos2??a2sin2?. ?2222|PC|?|PD|bcos??asin?x2y244．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，

ab?F1PF2的外（内）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，

R、S形成的轨迹方程是

x2?y2?a2({a3b(x?c)[(a2?b2)x?b2c]}2?[a4c2(x?c)y]2?(ab3c2y2)2).

45．设△ABC三顶点分别在双曲线?上，且AB为?的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线?相切的充要条件是D为EF的中点.

x2y246．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N

ab|PF|e两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则?.

|MN|2x2y2b2x147．设A（x1 ,y1）是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2abay1的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, r1,r2分别是A到双曲线两焦点的距离，则

. rr12d?abx2y2x2y248．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）和2?2??（0???1 ），一条直线顺

abab次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

x2y249．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直

aba2?b2a2?b2平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0?或x0??.

aax2y250．设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦

ab?2b22S?bcot|PF||PF|?点记?F，则(1).(2) . PF???PF1F2121221?cos?51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲

线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：x?n于M，N两点,

a?ma2则?MBN?90?. ??22a?mb(n?a)x2y252．L是经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是

ab1双曲线实轴的两个焦点，e是离心率,点P?L，若?EPF??，则?是锐角且sin??或

e1ab??arcsin（当且仅当|PH|?时取等号）.

ecx2y253．L是经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、

abF是双曲线的准线与x轴交点,点P?L，e是离心率，?EPF??，H是L与X轴的交点

11abc是半焦距，则?是锐角且sin??或??arcsin（当且仅当|PA|?时取等号）.

eecx2y254．L是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲

ab线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点P?L，?EPF??,离心率为e，半焦距为

11b22a?c时取等号）. c，则?为锐角且sin??2或??arcsin2（当且仅当|PF1|?eec?

x2y255．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交

ab(2a2?b2)2于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则|F1A|?|F1B|?（当

a2且仅当AB⊥x轴时取等号）.

x2y256．设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，

ab?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有2a2b22ab2|cos?|2cot?. (1)|PA|?2.(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a2|a?c2cos2?|x2y257．设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦

ab点的区域）、外部的两点，且xA、xB的横坐标xA?xB?a2，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则?PBA??QBA；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于

P、Q两点，则?PBA??QBA?180?.

x2y258．设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦

ab点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且?PBA??QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xA?xB?a2；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且

?PBA??QBA?180?,则点A、B的横坐标满足xA?xB?a2.

x2y2''59．设A,A是双曲线2?2?1的实轴的两个端点，QQ是与AA垂直的弦，则直线

abx2y2''AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线2?2?1.

abx2y260．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则

ab8ab2?|AB|?|CD|.

|a2?b2|c?ax2y261．到双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的

bab222动点M的轨迹是姊妹圆(x?ec)?y?(eb).

'c?ax2y262．到双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦

bab222距）的动点M的轨迹是姊妹圆(x?a)?y?b.

c?ax2y263．到双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c

babb222为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆(x?a)?y?()（e为离心率）.

ex2y2'64．已知P是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上一个动点，A,A是它实轴的两个端

ab

x2b2y2点,且AQ?AP,AQ?AP，则Q点的轨迹方程是2?4?1.

aa''65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实

轴之长的比例中项.

x2y266．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）实轴的端点为A,A',P(x1,y1)是双曲线上的点

abb2x1过P作斜率为2的直线l，过A,A'分别作垂直于实轴的直线交l于M,M',则

ay1''（1）|AM||AM|?b2.（2）四边形MAAM面积的最小值是2ab.

''x2y267．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右

ab焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经

过线段EF 的中点.

(x?a)2y2?2?1（a＞0,b＞0,且a?b）的两条互相垂直的弦，68．OA、OB是双曲线2ab2ab2,0).(2) 以O A、O B为直径的两O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点(2b?a2ab222ab22圆的另一个交点Q的轨迹方程是(x?22)?y?(22)(x?0).

b?ab?a(x?a)2y2?2?1（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂69．P(m,n)是双曲线2ab2ab2?m(b2?a2)n(a2?b2),2).（2）以P A、P 直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点(b2?a2b?a2B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

ab2?a2m2b2n2a2[b4?n2(a2?b2)](x?m且y?n). (x?2)?(y?2)?22222b?ab?a(b?a)70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）d1d2?b2，且F1、F 2在L 同侧?直线L和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线.（2）

（3）d1d2?b2，或F1、F2在Ld1d2?b2，且F1、F2在L同侧?直线L 和双曲线相离，

异侧?直线L和双曲线相交.

x2y271．AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切

ab线与过A、B的切线交于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2?4a2y2?1(y?0).

x2y272．设点P(x0,y0)为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定

ab点，AB是双曲线过定点P(x0,y0)的任一弦.

(1)如a?b,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时

2222(b2x0?ay02)?ab(|PA|?|PB|)min?.

a2(2)如a?b,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,

(b2x02?a2y02)?a2b2(|PA|?|PB|)min?. 2b

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库2013年高考数学专题复习 椭圆与双曲线的性质 完整归纳(3)在线全文阅读。