2013年高考数学专题复习 椭圆与双曲线的性质 完整归纳(2)

点，则?PBA??QBA；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则

?PBA??QBA?180?.

x2y258．设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外

ab部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且?PBA??QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xA?xB?a2；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且?PBA??QBA?180?,则点A、B的横坐标满足xA?xB?a2.

x2y2' 59．设A,A是椭圆2?2?1的长轴的两个端点，QQ'是与AA垂直的弦，则直线

abx2y2''AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线2?2?1.

abx2y260．过椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则

ab8ab22(a2?b2)?|AB|?|CD|?.

a2?b2aa?cx2y261．到椭圆2?2?1（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动

bab222点M的轨迹是姊妹圆(x?a)?y?b.

'a?cx2y262．到椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）

baba2b22的动点M的轨迹是姊妹圆(x?)?y?().

eea?cx2y263．到椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为

baba2b22半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆(x?2)?y?(2)（e为离心率）.

eex2y264．已知P是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上一个动点，A',A是它长轴的两个端点,

abx2b2y2''且AQ?AP,AQ?AP，则Q点的轨迹方程是2?4?1.

aa65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴

之长的比例中项.

x2y2'66．设椭圆2?2?1（ a＞b＞0）长轴的端点为A,A,P(x1,y1)是椭圆上的点过P

abb2x1''作斜率为?2的直线l，过A,A分别作垂直于长轴的直线交l于M,M,则

ay1（1）|AM||AM|?b.（2）四边形MAAM面积的最小值是2ab.

''2''x2y267．已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF

的中点.

(x?a)2y2?2?1（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标68．OA、OB是椭圆2ab2ab2,0).(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一原点，则（1）直线AB必经过一个定点(2a?b2ab222ab22个交点Q的轨迹方程是(x?22)?y?(22)(x?0).

a?ba?b(x?a)2y2?2?1（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直69．P(m,n)是椭圆

a2b2ab2?m(a2?b2)n(b2?a2),2).（2）以P A、P B的弦，则（1）直线AB必经过一个定点(a2?b2a?b2为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

ab2?a2m2b2n2a2[b4?n2(a2?b2)](x?m且y?n). (x?22)?(y?22)?222a?ba?b(a?b)70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）d1d2?b2，且F1、F 2在L 同侧?直线L和椭圆相切.（2）d1d2?b2，且F1、F2在L同

侧?直线L 和椭圆相离，（3）d1d2?b2，或F1、F2在L异侧?直线L和椭圆相交.

x2y271．AB是椭圆2?2?1（a＞b＞0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与

ab过A、B的切线交于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2?4a2y2?1(y?0).

x2y272．设点P(x0,y0)为椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆

abx2y2??1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时a2b2a2b2?(a2y02?b2x02)(|PA|?|PB|)max?.当弦AB垂直于长轴所在直线时, 2ba2b2?(a2y02?b2x02)(|PA|?|PB|)min?.

b273．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦

半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

x2y289. 已知椭圆2?2?1(a?0,b?0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线

abbby?x及y??x的平行线，与直线OP分别交于R,Q,O为原点，则：.

aa（1）|OM|2?|ON|2?a2；（2）|OQ|2?|OR|2?b2.

bb90. 过平面上的P点作直线l1:y?x及l2:y??x的平行线，分别交x轴于

aa2M,N，交y轴于R,Q.（1）若|OM2，则P的轨迹方程是|?|ON2?|ax2y2222??1(a?0,b?0).(2)若，则P的轨迹方程是|OQ|?|OR|?b22abx2y2??1(a?0,b?0). a2b2x2y291. 点P为椭圆2?2?1(a?0,b?0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过

abbP引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y??x于Q,R，记 ?OMQaab与?ONR的面积为S1,S2，则：S1?S2?.

292. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，

bab交直线y??x于Q,R，记 ?OMQ与?ONR的面积为S1,S2，已知S1?S2?，则Pa2x2y2的轨迹方程是2?2?1(a?0,b?0).

ab

双曲线

1．||PF1|?|PF2||?2a

x2y22．标准方程：2?2?1

ab|PF1|3．?e?1

d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

x2y29．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的

abx2y2直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

abx2y210．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

abx0xy0y?2?1. a2bx2y211．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线

abxxyy切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

abx2y212．AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB

abb2的中点，则kOM?kAB?2.

ax2y213．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方

abx0xy0yx02y02程是2?2?2?2.

ababx2y214．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程

ab

x2y2x0xy0y是2?2?2?2. ababx2y215．若PQ是双曲线2?2?1（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则

ab1111???2(r1?|OP|,r2?|OQ|). 222r1r2abx2y216．若双曲线2?2?1（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为

ab112a4A2?b4B222Ax?By?1(AB?0),则(1) 2?2?A?B;(2) L?2222.

ab|aA?bB|a2?b22ab)17．给定双曲线C1：bx?ay?ab（a＞b＞0）, C2：bx?ay?(2,2a?b则(i)对C1上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点

2222222222a2?b2a2?b2x,?22y0). M((220a?ba?b'''(ii)对C2上任一点P'0(x0',y0')在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P0点.

x2y218．设P0(x0,y0)为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且

ab弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,?my0)(m?1)的充要条1?mb2?. 件是k1?k2?1?ma2x2y219．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

abb2x0线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC??2（常数）.

ay0x2y220．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab?2S?bcot一点?F，则双曲线的焦点角形的面积为，PF???F1PF21222a22?2?bP(c?btan,cot) . c2c2x2y221．若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2

abc?a??c?a???tancot（或?tancot）. 是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则

c?a22c?a22x2y222．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a.

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