西北师大附中2015届高三第五次诊断考试数学（理科A卷）-学生版(3)

同理可得yF?∴kEF??

?3?613?43，xF?， 331．-----------------------------------------------------------------------------12分 411?ax?a?． xx21.【解析】（1）依题意，函数f(x)的定义域为(0,??)，对f(x)求导，得f?(x)?①若a?0，对一切x?0有f?(x)?0，函数f(x)的单调递增区间是(0,??)． ②若a?0，当x?(0,)时，f?(x)?0；当x?(,??)时，f?(x)?0．

所以函数f(x)的单调递增区间是(0,)，单调递减区间是(,??) -----------------4分 （2）设切线l2的方程为y?k2x，切点为(x2,y2)，则y2?ex2，

1a1a1a1ak2?g?(x2)?ex2?y2，所以x2?1，y2?e，则k2?ex2?e． x2111?，l1的方程为y?k1x?x．

ek2e由题意知，切线l1的斜率为k1?设l1与曲线y?f(x)的切点为(x1,y1)，则k1?f?(x1)?所以y1?11y?a??1， x1ex1x111?1?ax1，a??． ex1e又因为y1?lnx1?a(x1?1)，消去y1和a后，整理得lnx1?1?令m(x)?lnx?1?11??0．------------6分 x1e1111x?1??0，则m'(x)??2?2， xexxxm(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增．

1e111?0，m(1)???0，所以x1?(,1)， eee若x1?(0,1)，因为m()??2?e?e?1e2?1111而a??在x1?(,1)上单调递减，所以． ?a?eeex1e若x1?(1,??)，因为m(x)在(1,??)上单调递增，且m(e)?0，则x1?e，

e?1e2?111所以a???0（舍去）．综上可知，． -----------------------8分 ?a?eex1e1?a． x?111x?a?x?1??a?2?a?0， ①当a?2时，因为ex?x?1，所以h?(x)?e?x?1x?1x（3）h(x)?f(x?1)?g(x)?ln(x?1)?ax?e，h?(x)?e?xh(x)在?0,???上递增，h(x)?h(0)?1恒成立，符合题意．

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1(x?1)2ex?1??0，所以h?(x)在?0,???上递增，且②当a?2时，因为h??(x)?e?22(x?1)(x?1)h?(0)?2?a?0，则存在x0?(0,??)，使得h?(0)?0．

x所以h(x)在(0,x0)上递减，在(x0,??)上递增，又h(x0)?h(0)?1，所以h(x)?1不恒成立，不合题意．

综合①②可知，所求实数a的取值范围是???,2． ----------------------------12分

22.解：

?（Ⅰ）连接BD，则?AGD??ABD，?ABD??DAB?90， ??因为?C??CAB?90，所以?C??AGD，?C??DGE?180，

?因此C,E,G,D四点共圆； （Ⅱ）设EG?x，GA?3x，

---------------------------------------------------------5分

2由切割线定理EG?EA?EB，则EB?2x，又F为EB三等分，所以EF?2x4x，FB?， 332又FE?FC?FG?FD，FG?FD?FB， 所以FC?8x，CE?2x，即CE?EB．----10分 323.解：（Ⅰ）设P(x,y)，则根据题设画图知

21|AB|cos(???)??2cos?，y?|AB|sin(???)?sin?， 33??x??2cos?曲线C的参数方程是?（?为参数，且????）； ????（5分）

2y?sin??x?（Ⅱ）D(0,?1)，设P(?2cos?,sin?)，则

116|PD|?(?2cos?)2?(sin??1)2??3sin2??2sin??5??3(sin??)2?，

33因为

?2????，所以sin??(0,1)，2?|PD|?4343，故d的取值范围是(2,]?（10分） 3324. 解：（Ⅰ）

14114??(?)(1?a?1?b) 1?a1?b41?a1?b11?b4?4a11?b4?4a9(5??)?(5?2?)?， 41?a1?b41?a1?b41?b4?4a15?等号成立条件为，而a?b?2，所以a?,b?， 1?a1?b3315149?因此当a?,b?时，取最小值；

331?a1?b4?（Ⅱ）由均值不等式得

???（5分）

a2b2?a2?2a2b，a2b2?b2?2b2a，a2?b2?2ab，

222222三式相加得 2ab?2a?2b?2ab?2ab?2ab=2ab(a?b?1)，

而2ab?2ab?2ab=2ab(a?b?1)，所以ab?a?b?ab(a?b?1)．?（10分）

222222

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