复变函数-习题3(4)

11f(z)??.2z

解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得

???f?(z)?u?x?ivx?vy?ivx22x?y?2xy ?2+i22222(x?y)(x?y) 1 ?2z于是

11f(z)??2dz?c???1?c, 1zz其中c为任意实常数.

z由于f(2)?0,代入上式得c??1/2,所以

11f(z)??.2z

11.设f(z)和g(z)在简单闭路C上及其内部解析，试证：

（1）若f(z)在C上及其内部处处不为零，则有

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??f(z)?g(z).

Cf?(z)dz?0; f(z)（2）若在C上有f(z)?g(z),则在C的内部有证明：（1）因为f(z)在简单闭路C上及其内

f?(z)部解析并且处处不为零，则f(z)在简单闭路C上

及其内部处处解析，于是由Cauchy积分定理得

??Cf?(z)dz?0; f(z)（2）若对于C上的任意一点?有f(?)?g(?),由于f(z)和g(z)在简单闭路C上及其内部解析，则对于C的内部的任意一点z，由Cauchy积分公

式得

1f(?)1g(?)f(z)?d??d??g(z),?? 2?iC??z2?iC??z所以在C的内部有f(z)?g(z).

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