2z?1?2i11??所以(z?1)(z?2i)z?1z?2i，于是 2z?1?2i11?|z|?3(z?1)(z?2i)dz???|z|?3(z?1?z?2i)dz?11 ???|z|?3z?1dz???|z|?3z?2idz ?2?i?2?i ?4?i.
dzI???|z|?1z?2的7.用Cauchy积分定理计算积分
值，且证明等式
2?1?2cos??05?4cos?d??0.
1（1）解：被积函数z?2的奇点z??2在积分
路径|z|?1的外部，所以被积函数在闭区域|z|?1上解析，于是由Cauchy积分定理得
dzI???|z|?1z?2?0.
（2）证明：圆周|z|?1的参数方程为
6
i??z?e(0???2?)，在它上有z(?)?ie,于是
i?dzieI???|z|?1z?2??0ei??2d?2?i(cos??isin?) ??d?0cos??isin??22?(?sin??icos?)(cos??2?isin?) ??d?220(cos??2)?sin?
2??2sin??i(1?2cos?) ??d?05?4cos?2?2?1?2cos??2sin? ??d??i?d? 05?4cos?05?4cos?由（1）I?0得
2??2sin?2?1?2cos??05?4cos?d??i?05?4cos?d??0 所以比较等式两边的虚部得
2?1?2cos??05?4cos?d??0.
注：此题常见错误：
1?2cos?因为5?4cos?在0???2?处处解析，所以
2?i? 7
?2?01?2cos?d??0. 5?4cos?非常数实函数在整个复平面上处处不解析！
8．计算下列积分，其中积分闭路取正向.
dz3?（1）|z?? z?11|?1解：
dz1/(z?z?1)?dz3????z?1z?1|z?1|?1|z?1|?11 ?2?i2z?z?1z?1 2 ??i3
dz44?（4）|z?z(z?2) |?1解：
2 8
dz1/(z?2)??dz444???z(z?2)|z|?1z|z|?1???2?i?1? ?4??3!?(z?2)?z?0?i?120 ??7 3(0?2)5?i ?16
4sinzdz4n?1?（6）|z? (z?i)|?2解：
sinzdz2?i(4n)?sinz??4n?1??z?i(z?i)(4n)!|z|?22?i ?sinzz?i(4n)!2?i ?sini(4n)! ?2? ?sh1(4n)!
9
dz4??（8）|z|?3(z?1)(z?2)(z?16)
21解：被积函数(z?1)(z?2)(z4?16)有6个奇点，
只有z?1在圆|z|?3/2的内部，于是函数
14|z|?3/2在闭圆域上解析，则由(z?2)(z?16)Cauchy积分公式得
|z|?dz??3(z?1)(z?2)(z4?16)?2|z|?1/(z?2)(z?16)dz??3z?1241 ?2?i4(z?2)(z?16)z?1 2?i ?51zf(z)?e/z沿正向9.用Cauchy积分公式计算函数
圆周|z|?1的积分值，然后利用圆周|z|?1的参数方程z?e(??????)证明下面积分
10
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