复变函数-习题3

习题3

1.计算函数f(z)?Rez沿下列曲线的积分. （2）C2为从点z?0到点z1?1再到点z2?1?i的折线.

解：从点z?0到点z1?1的直线段参数方程为

z?x(0?x?1)，在它上有z?(x)?1,Rez?x，则

xI1??Rez dz??x?1 dx?0,12012101?2，

从点z1?1再到点z2?1?i的直线段参数方程为z?1?yi(0?y?1),在它上有z?(y)?i,Rez?1，则

1I2??1,1?iRez dz??1?i dy?iy0?i01，

于是由复积分对积分路径的可加性可得

1?C2Rez dz?I1?I2?2?i.

1

2.计算f(z)?|z|沿下列曲线的积分. （1）C1为从z1??1到z2?1的直线段； （2）C2为从z1??1到z2?1的上半圆周； （3）C3为从z1??1到z2?1的下半圆周. 解：（1）直线段C1的参数方程为

z?x(?1?x?1),在它上有z?(x)?1,|z|?|x|，则

11x dx???1;?C1|z| dz???1|x| dx???1?x dx?? 220（2）上半圆周C2的参数方程为

101z?ei(???)(0????),在它上有

i(???)?z(?)??ie,|z|?1，则

??C2|z| dz??1?(?ie0i(???)) d??ei(???)?0?1?(?1)?2; （3）下半圆周C3的参数方程为

z?e(?????0),在它上有z?(?)?ie,|z|?1，则

2

i?i?0?

C2|z| dz????1?iei? d??ei?0???1?(?1)?2.

3.设C为从z?0到z1?1?i的直线段，计算函数

f(z)?x?y?ix沿C的积分.

解:直线段C参数方程为z?0?[(1?i)?0]t?t?it (0?t?1)，在它上有z?(t)?1?i, x?t,y?t, 则

12?Cf(z) dz??x?y?ix dz??(t?t?it)(1?i)dtC31022t?1?i ?i(1?i)?.303

4.利用复积分的估值性质（5）证明下面不等式.

dz2?r?4(r?a)444??（3）z?rz?a r?a证明：因为当z在圆周{z:|z|?r}(r?a)时，由

3

三角不等式，

z?a?z?a?r?a?r?a，

所以由复积分的估值性质（5）得

44444444dz?44??z?az?rz?r??ds?44z?az?r?r?ds4?a4?2?rr?a44.

注：此题中常见的错误：

11?4444z?ar?a，

此式不成立！

5.试讨论函数f(z)?1/z沿正向圆周|z?z0|?r的积分值，其中r?0,且|z0|?r,|z0|?0. 解：函数f(z)?1/z的奇点为z?0.

（1）当r?|z0|时，f(z)的奇点在圆周

|z?z0|?r的外部，所以f(z)在闭区域|z?z0|?r上解析，于是由Cauchy积分定理得

4

?|z?z0|?rf(z) dz?0;

（2）当r?|z0|时，z?0在圆周|z?z0|?r的内部，则由解析函数积分的闭路变形原理可得（另见3.2节例3-6的结论）

11?|z?z0|?rf(z) dz??|z?z0|?rz?0 dz??|z?0|??z?0 dz?2?i,（其中??0为任意实数）.

6．计算下列积分值，其中积分路径都取正向.

2z?1?2idz?（2）?|z|?3(z?1)(z?2i)

2z?1?2iAB??解：令(z?1)(z?2i)z?1z?2i，则有 2z?1?2iB(z?1)2z?1?2iA(z?2i)?A?, ??Bz?2iz?2iz?1z?12(?1)?1?2iA??1z??1上面第一式令得； ?1?2i2(?2i)?1?2iB??1z??2i上面第二式令得. ?2i?1

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