初等积分(4)

其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。

二元函数的极限及其连续性

在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。

在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，

那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。 这种极限通常称为二重极限。

下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义： 二重极限的定义

如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足 的一切(x,y)都使不等式

成立，

那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。 正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则： 二重极限的运算法则

如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B. 那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y)g(x,y)→AB；

(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0

像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性

如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。

如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断

.

.

点。

关于二元函数间断的问题

二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。

二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。

例题：求下面函数的间断线

解答：x=0与y=0都是函数的间断线。

偏导数

在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的\变化率\。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。 偏导数的定义

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数

z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)

△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0). 如果△xz与△x之比当△x→0时的极限

那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。 记作：f'x(x0,y0)或 关于对x的偏导数的问题

函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数

同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限

存在，

存在，

那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.

记作f'y(x0,y0)或偏导数的求法

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时， 我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导， 那末称函数f(x,y)在域D可导。

此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，

称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。 例题：求z=xsiny的偏导数 解答：把y看作常量对x求导数，得

2

把x看作常量对y求导数，得

注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。 例题：求

的偏导数。

解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。

把y和z看成常量对x求导，得.

把x和z看成常量对y求导，得.

把x和y看成常量对z求导，得高阶偏导数

.

如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导， 那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：f\，f\，f\，f\

注意：f\与f\的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏

导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f\与f\都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。 例题：求函数

的二阶偏导数.

解答：，，全微分

我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。 全微分的定义

函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和 f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 若该表达式与函数的全增量△z之差， 当ρ→0时，是ρ( 的高阶无穷小，

那末该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。 记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)

注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过程如下图所示：

)

例题：求 解答：由于 所以关于全微分的问题

的全微分

，

如果偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末z=f(x,y)一定可微。

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