初等积分

四、不定积分

不定积分的概念

原函数的概念

已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 dF'(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例：sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题

函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？

我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数， 即：F\，

则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数， 故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念

函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作

。

由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分就是函数族

F(x)+C. 即: 例题：求：

.

=F(x)+C

解答：由于不定积分的性质

，故=

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即：

2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，

即：

求不定积分的方法

换元法

换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题：求

解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。 设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)， 则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数） 即有换元公式: 例题：求

解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2

，dx=acostdt,于是有：

关于换元法的问题

不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。 分部积分法

这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为： (uv)'=u'v+uv'，移项，得

uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得： 这就是分部积分公式 例题：求

，

解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。

设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：

关于分部积分法的问题

在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点：

(1)v要容易求得； (2)

容易积出。

几种特殊类型函数的积分举例

有理函数的积分举例

有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，

反之为真分式。

在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。 例题：求 解答：

关于有理函数积分的问题

有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍，请谅。 三角函数的有理式的积分举例

三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。 例题：求 解答：

关于三角函数的有理式的积分的问题

任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出，故变量代换u=tan(x/2)对三角函数的有理式的积分应用，在此我

们不再举例。

简单无理函数的积分举例 例题：求 解答：设

，于是x=u+1，dx=2udu，从而所求积分为：

2

五、定积分及其应用

定积分的概念

我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示：

现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。

显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念

设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

...

a=x0

...

[x0，x1]，[xn-1,xn],

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，

并作出和

，

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作 即：

。

关于定积分的问题

我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？ 定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 定积分的性质

性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）. 即：

性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.

即：

≤

（a

性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则

性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤

≤M(b-a) 性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：

=f(ξ)(b-a)

注：此性质就是定积分中值定理。

微积分积分公式

积分上限的函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分

,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x):

注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数有导数，

并且它的导数是

（a≤x≤b)

就是f(x)在[a,b]上的一

在[a,b]上具

(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数

个原函数。

注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 牛顿--莱布尼兹公式

定理(3)：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。

它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。因此它就

给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。

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