2009-2010(1)测量数据处理试题（地信遥感）(1)

总成绩=卷面成绩50%+报告成绩30%+平时成绩20%

2009-2010学年第1学期 现代测量数据处理理论 试题

班级 姓名

一、（10分）名词解释

滤波，岭估计，稳健估计，秩亏自由网

二、（60分）简答题

1、给出极大似然估计、最小二乘估计、极大验后估计和最小方差估计的估计准则，并简述它们间存在的相互关系。

2、什么是赫尔默特方差分量估计？简述赫尔默特方差分量估计的计算步骤。 3、简述广义测量平差包括那些主要平差方法。 4、简述一次范数最小估计的计算步骤。

5、二次无偏估计法的主要目的是什么？二次无偏估计MINQUE法与BIQUE法分别是在满足哪些性质下作出的估计？

三、（30分）推导题

??l?V?Bx???Wx?0?Cx1、已知附有限制条件的间接平差模型为 。

?的表达式； （1）试根据最小二乘原理推导其解x?具有方差最小性； （2）试证明估计量x2?0?（3）试证明其单位权方差估值的无偏性。

2、试证明下面两个秩亏自由网平差模型等价

VTPV?min?VTPV?min???T?P?p?min?，GTPxx?p?0? xPxx???L??V?BxV?Bx?L??

一、名词解释

滤波就是通过对一系列带有误差的实际观测数据的处理，得出所需要的参数的最佳估值的方法。

岭估计（Ridge Estimation）是从减小均方误差的角度出发而提出的一种有偏估计方法。

稳健估计：在部分观测值中含有粗差情况下，稳健估计是一种优于最小二乘估计的方法。

秩亏自由网：所谓控制网具有足够的起算数据，是指这些数据是确定平差后待定点坐标所不可缺少的，这种没有足够起始数据的控制网就是秩亏自由网。 二、简答题

?1.极大似然估计是以：f(l/x)?max为准则求最佳估值X的方法。

???TT最小二乘估计是以：：?(X)?VPV?(BX?L)P(BX?L)?min为准则。当观测为误差

和参数X是正态随机向量时，这种最小二乘估计准则可以从极大似然估计导出。 极大验后估计是以：f(x/l)?max为准则。

??最小方差估计是以估计误差的方差为最小，即：D(?X)取得最小值XMV，作为准则的估

计方法。当X和L都是正态随机向量时，X的最小方差估值和它的极大验后估值是相等的。当X和L不都是正态随机向量时，X的最小方差估值和它的极大验后估值不一定相等。

2.利用预平差的改正数V，按验后估计各类观测量验前方差的方法，若各类观测量之间相互独立，即观测量的方差阵是拟对角型矩阵，称为赫尔默特方差分量估计。 方差分量估计的迭代计算步骤如下：

（1）将观测值按等级或按不同观测来源分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值P1,P2，……，Pm； （2）进行第一次平差，求的ViTPiVi；

（3）再进行第一次方差分量估计，求得各类观测值单位权方差的第一次估值?oi，再依

?c下列定权： Pi??2?1

?oiPi?2式中c为任一常数，一般是选?oi中的某一个值。

（4）反复进行第二项和第三项，即进行：平差——方差分量估计——定权后再平差，直至

??2?2?02????????020m 1为止，或通过必要的检验认为各类单位权方差之比等于1为止。

3.广义测量平差的理论基础的估计方法可分为两类：一类是对非随机参数进行估计

?2的最小二乘估计和极大似然估计；另一类是对随机参数进行估计的极大验后估计或最小方差估计，线性最小方差估计，由这两类估计方法可以得到各种不同的平差方法。 分为：最小二乘法平差，秩亏自由网平差，还有广义逆法，伪观测法、直接法以及消去条件法等。

4.

5.二次无偏估计法的主要目的是：如果存在不同类观测值，那么该法可估计各类观

2?0测值的方差分量，即估计各类观测值的单位权方差因子；如果同类观测值的方差存在

着不同因素的不同影响，则该法也可估计这些不同因素的方差分量。

其中，1.最小范数二次无偏估计法（MINQUE法），要求选出的待定矩阵M能使估计量??具有如下三个性质：（1）不变性；（2）无偏性；（3）最小范数条件。2.最优不变二次无偏估计法（BIQUE法），要求（1）不变性；（2）无偏性；（3）最小方差条件。 三、推导题

（1）由最小二乘原理VTPV?min，按求条件极值法组成函数：

??Wx) ??VTPV?2KsT(Cx?取偏导数并令其为零，则式中KS是对应于限制条件方程的联系数向量。为求?得极小，将其对x有： 转置后得

???V?2VTP?2KsTC?2VTPB?2KsTC ???x?xBTPV?CTKs?0

??l?V?Bx再由 ?

??Wx?0?Cx??CTKs?BTPl?0?BTPBx?得 ?

??Wx?0Cx??T令 NBB?BPB，W?BPl

T??CTKs?W?0?NBBx?故上式可写成 ?

??Wx?0Cx??上式称为附有限制条件的间接平差法的法方程。

用CNBB左乘上式可得： CNBBCKs?(CNBBW?Wx)?0 若令 NCC?CNBBC 则上式也可写成 NCCKs?(CNBBW?Wx)?0

?1?1T?1?1T?1NCC为一s阶的满秩对称方阵，是可逆阵。于是

?1?1Ks?NCC(CNBBW?Wx)

??CKs?W?0中，经整理可得： 将上式带入式NBBx?1?1T?1?1?1T?1??(NBBx?NBBCNCCCNBB)W?NBBCNCCWx

T?的方差最小性： （2）X?0QXX参数估计量的方差阵位： DXX??????

?DXX??中对角线元素分别是各Xi（i=1，2，…，u）的方差，要证明参数估计量方差最小，根据迹的

定义知，也就是要证明 tr(DXX 或 tr(QXX??)?mi n??)?mi n2??N?1BTP(L?d) 由前面知道 XBB???(L?d) ?为观测值的线性函数 X设X??X?，也就证明了X?的方差最小。 ?的方差最小且X式中?为待求的系数矩阵。若能证明X???(L?d)两边取数学期望 ?为无偏估计量来求?必须满足的条件。为此，对式X先按X?)??(E(L)?d) E(X??d?d)??BX??X? ??(BX必须使 ?B?E 或 ?B?E?0

?才是X?的无偏估计量。根据协方差传播定律 XTDXX????DLL?

这样，待求的系数矩阵?既要满足?B?E 或 ?B?E?0，又要使DXX??最小。为此，按求条件极值的方法进行。将待定系数矩阵K右乘上式，并组成函数

???DLL?T?2(?B?E)K

等号两边求迹 tr(?)?tr(?DLL?)?2tr(?BK)?2tr(K) 令

T?tr(?)?0 ??得

?tr(?)T??(DLL?DLL)?2(BK)T?0?0 ??TT即 2?DLL?2KB?0 所以 ???KBDLL 将上式带入?B?E 或 ?B?E?0，得 ?KBDLLB?E 所以 K??(BDLLB) 顾及P??0DLL可得 ??(BPB)BP?NBBBP

2?1T?1T?1TTT?1?1TT?1TT?1???(L?d)?N?1BTP(L?d)?X? 所以 XBB?具有方差最小性。 即证明了估计量X?0具有无偏性 （3）单位权方差估值?2VTPV22?0?的估计量为???)??0单位权方差?，只要证明E(?即可。

n?t2020? 观测值的真误差为 ??L?L??L ?为真值。已知观测值的改正数为 V?L式中L??L???? 将上面两式相加得 ??V?LL所以 ???L??V 由此可写出 ?P??(?L??V)P(?L??V)

TTT??TP??VP???PV?VPV ????LLLLTT??L??B?? ??BX??d得 ???L由平差值方程LLX?式中?X?为估计量X的真误差。带入?P?中可得

TTTTT?TP???TP??(VPB)???BPV?VPV ????LLXX因为BPV?0，而VPB?(BPV)?0，所以

TTTTVTPV??TP???T?P?L? L

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