内蒙古师范大学本科毕业论文
微磁学模拟的研究进展
胡日查（学号：20082116025）
（物理与电子信息学院 物理专业2008蒙班 内蒙古 呼和浩特 010022）
指导教师：那日苏
摘要：本论文首先介绍了微磁学模拟的基本理论，讨论了布朗静态方程和基于Landau-Lifshitz方程的动力学过程模拟。在此基础上，介绍了微磁学模拟的研究现状，分别介绍了薄膜磁性材料的模拟、硬磁体系的模拟以及应力下的薄膜磁性单元的模拟等。
关键词：微磁学，应力，磁化强度 1． 引言
随着以磁性传感器、磁记录磁头及磁机电器件为代表的磁性器件向微型化、薄膜化方向发展，以及以薄膜和半导体工艺技术为基础的磁电子学的兴起，对磁性材料的磁行为进行更为细致的研究，了解微米尺度下的磁化过程愈显得重要。 2． 微磁学基本理论 2.1微磁学概述
现代微磁学理论起源于Landau和Lifshitz在1935年发表的一篇关于研究反平行排列的磁畴之间的畴壁结构的论文。微磁学(micromagnetic)一词是由Brown在1963年提出，它是关于磁性材料的磁化和反磁化过程的第一原理[1]。 2.2微磁学基本能量公式
微磁学理论处理磁化过程是从总的磁吉布斯自由能开始的，磁吉布斯自由能包括磁各向异性能、铁磁交换能、静磁能和磁势能。对铁磁体如果忽略外应力的影响，即不考虑磁弹性能，则总自由能Etot 为
Etot?Eani?Eexch?Edem?Eext (1)
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其中，Eani是磁各向异性能，Eexch是铁磁交换能，Edem是静磁能(退磁场能)，Eext是磁势能(外磁场能)[2]。磁各向异性能使磁化强度矢量沿某一方向取向，铁磁交换能使磁矩互相平行，静磁能起源于表面的磁偶极子，它有助十磁畴的稳定存在，磁势能的作用是旋转磁化强度矢量使其平行于外磁场方向。下面给出各能量项积分形式的计算表达式: 2.2.1 交换能
采用海森堡交换模型的交换能通常写为如下形式
Eexch???Ji,jSi?Sj (2)
i,j?1M其中Jij为交换积分，可通过量子力学方法计算而得。Si,j为自旋算符。由于Jij随原子间距离的增加而急剧减小，因此上式中的积分可仅对近邻原子进行，从而Jij可写为J。假如以经典矢量形式代替上式中的算符并重写点乘形式，交换作用能可写为
Eexch??JS2i,j\\i?j?cos?i,j (3)
??假设使用连续变量m?MMs来代表磁矩，，对很小的角度可得
???? ?i,j?mi?mj?(ri??)m
?其中ri是从点i到j的位置矢量。从而,交换能可写为 Eexch?JS2?i??(r??)m?iri??2 (4)
将对i的求和改为对整个铁磁体的积分，则立方晶体交换作用能的表达式为
2223E?A(?m)?(?m)?(?m)dr (5) exch?xyz??JS2c交换常数A可写为:A?。其中a为相邻格点之间的距离，c为晶胞原子数，对单立
a方晶体结构材料c =1，体心立方晶体结构材料c =2，面心立方晶体结构材料c=4[3]。 2.2.2各向异性能
磁晶各向异性能与交换能相比通常很小。但是磁矩的方向却由各向异性决定，因为交换能只使得磁矩相互平行而不管其平行的方向。
在六角晶体中，磁晶各向异性能仅仅是磁化方向与易磁化轴(c轴)之间的夹角的函
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数。实验表明，各向异性能相对十基平面(ab平面)是对称的，故各向异性能密度wani，的幂级数展开式中cos?的奇次项可忽略，只取前两项可得
24 wani??K1cos2??K2cos4???K1mz （6） ?K2mz 其中z平行于c轴。由实验可知，在大多数场合K2是可忽略的。若K1>0, c轴是易磁化方向，这意味着c轴所对应的能量是极小值。若K1<0, c轴是难磁化方向，易磁化平面与其垂直。 2.2.3退磁能
在静磁问题中，没有电场E或传导电流少。因此，
? ??D?? (7)
? ??H?0 (8) ????磁感应强度B可写为B??0(H?M)。(6)式的一个通解可写为
? H???U (9)
?? 其中U是标量磁势。将B和的H表达式代入式(9)可得
?在磁体内: ?Uin???M (10) 在磁体外: ?Uout?0 (11) 上述方程组求解时须在磁体表面上满足边界条件
???Uin?Uout??M?n (12) Uin?Uout ，?n?n?其中n为垂直于磁体表面的单位向量，其方向以垂直磁体表面向外为正。
退磁能源自于经典的磁偶极子之间的相互作用，由于这种作用存在于很大的范围内，属于长程作用，因此静磁能的计算是最为困难的。 2.2.4外磁场能
??磁化强度为M(r)的区域与外磁场Hext，的相互作用能为
Eext?????0?Hext?M(r)d3r (13)
由于Maxwell方程组的线性性，叠加原理允许该项能量可进行简单叠加。
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2.2.5磁应力能 应力能谜底为：
w?????ijeij （14）
i?j2.3布朗静态方程
布朗提出了变分的方法，他假设仅磁化矢量的方向有一微小变化，而不是磁化矢量分布函数的任意微小变化。在能量的局部最小点，变分所得线性项的系数应该为零。合理地运用变分原理，可得到布朗方程组（矢量形式）
???wani?w??2?m?(2A?m??0MsHdem??0MsHext????)?0 （15）
?m?m?定义有效磁场Heff为：
??2A1?wani1?w???Heff??2m?Hdem?Hext???? （16）
?0Ms?0Ms?m?0Ms?m2.4磁化强度运动方程
布朗方程组只能给出系统平衡时的磁矩的分布情况(静态)。如果需要研究磁矩分布的动态特性及磁矩随时间的变化特性，则需考虑磁矩在磁场进动情况。
? 从描述在有效磁场中进动的量子力学表达式可直接得到磁化强度M(r)随时间变化的动态方程
???dM???M?Heff (17) 0dt其中: ?0??0g|e|2meg 为旋献,g为Land因子，me是电子的质量。
Brown方程组可看作式(16)的一个特殊情况，即磁化强度不随时间变化， 达到静态平衡的状态。此处边界条件与静态情况下相同。
???? H ?M?M?H
?M ???M?H 图 1. 磁化强度进动
式(16)表征磁化强度的无阻尼进动，如图2-1所示，即进动能永久地进行下去。但是实
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验表明，在有限的时间内磁化强度的变化会衰减。目前只能唯像地加一阻尼项。Gilbert将式（17）修正为下列形式
?????dM?dM (18) ???M?Heff?M?dtMsdt其中?是无量纲的阻尼因子。
??用M点乘上式两端，再计算M与上式的矢量积，将矢量积代回上式整理可得以
Landau-Lifshitz形式的阻尼进动方程（以Gilbert形式表示，简称LGG方程）
?????dM??????M?Heff?M?(M?Heff) （19） dtMs其中???0。 21??（18）和（19）两种表达式在数学上是等效的。如果阻尼系数比较小，物理解释也没有大的差别。不过再大阻尼场合，由于某些实际的理由，倾向于使用Gilbert的表达式。数值求解微分方程（18）或（19）便可得到磁化强度矢量随时间变化的动态分布情况。 3．近期进展
微磁学数值模拟基于布朗方程和LLG方程，利用高速计算机对材料上各网格的磁矩进行静态和动力学求解，目前较为成熟的计算程序有OOMMF、LLG—Simulator 和FastMag 等，在材料上的网格划分方面有方格子和三角格子，下面我们介绍环期利用微磁模拟研究磁性材料的新进展。 3.1方法研究进展
3.1.1微磁学计算在磁性材料中的应用
早期的微磁学计算机模拟与设计应用于畴壁计算领域。最近随着计算机技术的高速发展，其应用范围已延伸到计算单畴粒子的磁化反转过程，研究磁记录头材料中封闭畴的畴转行为，分析磁阻，巨磁阻磁头的性能研究磁性隧道结的磁畴结构，模拟微观结构与块材磁性材料内磁参数的关系等。 3.1.2磁记录介质材料领域的应用
Zhu和Bertam首先在研究垂直记录介质过程中提出了一个微磁模型，在该模型依赖CoCr介质薄膜的晶粒结构，它由二角点阵上封闭的六角柱状单元的二维阵列表示薄
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