非线性方程的数值计算方法实验

数值计算方法

非线性方程的数值计算方法实验

一、实验描述：

在科学研究和工程实践中，经常需要求解大量的非线性方程。本实验正是通过计算机的程序设计，使用迭代法、波尔查诺二分法、试值法、牛顿-拉夫森法和割线法，来实现非线性方程的求解。

本实验中通过对各种方法的实践运用，可以比较出各种方法的优缺点。并且，通过完成实验，可加深对各种方法的原理的理解，熟悉掌握C语言在这些方法中的运用。

二、实验内容：

1、 求函数g(x)?xx?cos(x)的不动点（尽可能多）近似值，答案

精确到小数点后12位；

2、 如果在240个月内每月付款300美元，求解满足全部年

金A为500000美元的利率I，的近似值（精确到小数点后10位）。

3、 利用加速牛顿-拉夫森算法，用其求下列函数M阶根p

的近似值。

(a)、f(x)=(x-2)，M=5,p=2，初始值p0=1。

5

(b)、f(x)=sin(x)，M=3,p=0，初始值p0=1。 (c)、f(x)=(x-1)ln(x),M=2,p=1，初始值p0=2。

4、 设投射体的运动方程为：

3

y=f(t)=9600(1-e

1

-t/15

)-480t

数值计算方法

x=r(t)=2400(1-e

-t/15

)

(a)求当撞击地面时经过的时间，精确到小数点后10位。

(b)求水平飞行行程，精确到小数点后10位。

三、实验原理：

(1)、不动点迭代法：它是一种逐次逼近的方法,即用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的结果。它利用计算机运算速度快，适合做重复性操作的特点，让计算机对一个函数进行重复执行，在每次执行这个函数时，都从变量的原值推出它的一个新值，直至推出最终答案为止。

迭代法一般可用于寻找不动点，即：存在一个实数P，满足P=g(P)，则称P为函数g(x)的一个不动点。且有定理：若g(x)是一个连续函数，且 pn ∞n=0是由不动点迭代生成的序列。如果limn→∞pn=P,则P是g(x)的不动点。所以，不动点的寻找多用迭代法。

(2)、波尔查诺二分法：

起始区间[a,b]必须满足f(a)与f(b)的符号相反的条件。由于连续函数y=f(x)的图形无间断，所以它会在零点x=r处跨过x轴，且r在区间内。通过二分法可将区间内的端点逐步逼近零点，直到得到一个任意小的包含零点的间隔。

二分法定理：设f∈C(a,b),且存在数r∈[a,b]满足f(r)=0。如果f(a)和f(b)的符号相反，且 cn ∞n=0为二分法生成的中点序列，则：

r?cn ≤

b?a2n+1 其中n=0,1,… (1)

2

数值计算方法

这样，序列 cn ∞n=0收敛到零点x=r即可表示为：

limn→∞cn=r (2)

(3)、试值法：

假设一个函数中，有f(a)和f(b)符号相反。二分法使用区间[a,b]的中点进行下一次迭代。如果找到经过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L与x轴的交点(c,0),则可得到一个更好的近似值。为了寻找值c，定义了线L的斜率m的两种表示方法，一种表示方法为：

m=

f b ?f(a)b?a

(3) 这里使用了点(a,f(a))和(b,f(b))。另一种表示方法为：

0?f(b)c?b

m=

(4)

这里使用了点(c,0)和(b,f(b))。 使式(3)和式(4)的斜率相等，则有：

f b ?f(a)b?a

=

0?f(b)c?b

(5)

为了更容易求解c，可进一步表示为：

f b (b?a)

c=b-f b ?f(a)(6)

这样会出现3种可能性：

如果f(a)和f(c)的符号相反，则在[a,c]内有一个零点。 如果f(c)和f(b)的符号相反，则在[c,b]内有一个零点。

如果f(c)=0，则c是零点。

3

数值计算方法

然后，可按二分法的方法进行下一步运算。 (4)、牛顿-拉夫森法：

此法根据，牛顿-拉夫森定理：设f∈C2[a,b],且存在数p∈[a,b], 满足f(p)=0。如果f(p)≠0,则存在一个数δ>0，对任意初始近似值p0∈[p-δ,p+δ]，使得由如下迭代定义的序列 pk ∞k=0收敛到p:

f(pk?1)

pk=g(pk-1)= pk-1－其中

f(pk?1)

k=1,2,…(7)

其中，函数g(x)由如下定义：

f(x)

g(x)=x--(8) f(x)

且被称为牛顿-拉夫森迭代函数。由于f(p)=0,显然g(p)=p。这样，通过寻找函数的不动点，可以实现寻找方程f(x)=0的根的牛顿-拉夫森迭代。

附：定理(牛顿-拉夫森迭代的加速收敛)：

设牛顿-拉夫森算法产生的序列线性收敛到M阶根x=p,其中

M>1,则牛顿-拉夫森迭代公式：

f(pk?1)

pk=pk?1-M(9) f(pk?1)

(5)、割线法：

割线法包含的公式与试值法的公式一样，只是在关于如何定义每个后续项的逻辑判定上不一样。需要两个靠近点(p,0)的初始点(p0,f(p0))和(p1,f(p1))。

可根据两点迭代法公式，得到一般项:

f pk (pk?pk?1)

pk+1=g(pk,pk?1)=pk- (10)

fpk?f(pk?1)

4

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四、结果计算及分析：

1、函数g(x)=x

(a)计算结果：

x-cos(x)

的不动点的迭代(迭代法)：

(b)结果分析:

此题经过matlab图形仿真，可以看出其解的大致范围在[0.8,1.2]之间。此结果是在取p0=0.879的情况下得出的，其误差精度取为0.000000000001。从迭代过程的误差收敛速度可以看出不动点迭代的误差收敛较慢，所需迭代次数较多。

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