高中数学复数教学案例

《复数代数形式的乘除运算》

案例分析

尉氏县第三高级中学

姚翠玲

一、案例背景

1、教材分析

本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．

教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性． 2、学情分析

高二的学生 3、教学目标设计：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解

它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无

味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教材内容及重点、难点分析

教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数

相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

4、教学思路①本节课的教学以建构主义学习理论为指导，以学生为中心，以问

题为出发点，使课堂教学过程成为学生自主地进行信息加工、知识意义构建、创新能力发展的。教师在教学过程中则适时介入，引导、启发、组织、帮助、促进。②设计创造性思维问题。所谓创造性思维问题即是指利于学生创造性思维发展的问题。创造性思维问题的设计应遵循这样几个原则：题型具有开放性、解题富有挑战性。

5、教学手段①互动法：老师提出问题，由学生回答，并从知识中获得启迪，从

而解决问题。②任务驱动教学法：将所要学习的新知识隐含在一个或向个问题之中，学生通过对所提的任务进行分析、讨论，并在老师的指导、帮助下找出解决问题的方法，最后通过任务的完成而实现对所学知识的意义建构。

二、案例描述 1、新课导入

提出问题：试计算5(2＋i)．

活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法． 学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算． 活动成果：(板书)

5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i. 2、讲解新课

设计意图⑴

通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又

该如何计算？

探究新知

提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．

学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．

活动成果：(板书)

(1)规定，复数的乘法法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积： (a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i. 设计意图⑵

遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．

理解新知

提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？ 活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．

学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律． 活动成果：

(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

两个复数的积是一个确定的复数．

(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中： 对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1， (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)， z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 设计意图⑶

准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础． 提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值有什么规律吗？ 活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导． 学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．

活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．

设计意图⑷

了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．

运用新知

例1计算：

(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．

思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．

解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i； 解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.

(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i) ＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；

解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i. 点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.

探究新知

提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？

活动设计：学生独立思考，然后交流．

学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．

活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．

注意：z的共轭复数常用z表示．即：若z＝a＋bi，则z＝a－bi. 设计意图⑸

例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．

提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则．

活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则． 活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c＋di)(x＋yi)＝a

＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi，叫做复数a＋bi除以c＋di的商．

(2)经计算可得(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi. 根据复数相等的定义，有cx－dy＝a，dx＋cy＝b. ac＋bdbc－ad

由此得x＝2，y＝. c＋d2c2＋d2于是得到复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝

ac＋bdbc－ad

＋i. c2＋d2c2＋d2由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．

理解新知

提出问题1：若z1，z2是共轭复数，那么

(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ (2)z1·z2是一个怎样的数？

(3)若z1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？

活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．

学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论．

活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称； (2)z1·z2＝|z1|2＝|z2|2；(即z·z＝|z|2＝|z|2)

(3)z1的共轭复数仍是z1，即实数的共轭复数是它本身． 设计意图⑹

使学生加深对共轭复数概念的了解．

提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？

活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．

学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中数学复数教学案例在线全文阅读。