2019高三一轮复习创新设计文科数学第三章 第2节 第1课时

第2节 导数在研究函数中的应用

最新考纲 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小， f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值. (2)函数的极大值与极大值点

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大， f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值. 3.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [常用结论与微点提醒]

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( ) (2)若函数y＝f(x)在(a，b)内，恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在(a，b)内不具有单调性.( ) (3)函数的极大值一定比极小值大.( )

(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)函数f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上有f′(x)≥0，故(1)错. (3)函数的极值是局部概念，极大值与极小值大小不能确定，故(3)错. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√

1

2.(选修1－1P91例题改编)函数y＝2x2－ln x的单调递减区间为( ) A.(－1，1) C.(1，＋∞)

B.(0，1) D.(0，＋∞)

1

解析 函数y＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞)， 1（x－1）（x＋1）

y′＝x－x＝，令y′<0，则可得0

x答案 B

3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合. 答案 D

4.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( ) A.－1

B.－2e3

－

C.5e3

－

D.1

解析 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，

则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1， 则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f′(x)>0，

当－2

135.(2018·郑州质检)若函数f(x)＝3x3－2x2＋ax＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a的值为________.

解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1，4]上单调递减， ∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]， 因此－1，4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 答案 －4

第1课时 导数与函数的单调性

考点一 求函数的单调区间(典例迁移)

4

【例1】 (经典母题)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－3处取得极值. (1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间. 解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，

4?4?因为f(x)在x＝－3处取得极值，所以f′?－3?＝0，

??

161?4?16a8

－??即3a·9＋2·3＝3－3＝0，解得a＝2. ??

?1?

(2)由(1)得g(x)＝?2x3＋x2?ex，

??

?3??1?

故g′(x)＝?2x2＋2x?ex＋?2x3＋x2?ex

????

1?1352?

＝?2x＋2x＋2x?ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.

2??令g′(x)<0，得x(x＋1)(x＋4)<0， 解之得－1

所以g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).

12

【迁移探究1】 若本例中函数f(x)变为“f(x)＝ln x－2x＋x”，试求f(x)的单调区间.

1

解 因为f(x)＝ln x－2x2＋x，且x∈(0，＋∞)， ?1－5??1＋5??x－???2??x－2?1?

所以f′(x)＝x－x＋1＝－. x1＋51－5

令f′(x)＝0，所以x1＝2，x2＝2(舍去). 由f′(x)>0，得0

1＋52；

由f′(x)<0，得x>

1＋52. ??1＋5?1＋5?

?，单调递减区间为??. 所以函数f(x)的单调递增区间为?0，，＋∞2???2?x2

【迁移探究2】 若本例的函数变为“f(x)＝2－aln x，a∈R”，求f(x)的单调区间.

x2

解 因为f(x)＝2－aln x，所以x∈(0，＋∞)，

2

ax－a

f′(x)＝x－x＝x.

(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a>0时，f′(x)＝

（x＋a）（x－a）

，则有

x

①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a). ②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞). 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). 规律方法 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；

(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.

xa3

【训练1】 已知函数f(x)＝4＋x－ln x－2，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))1处的切线垂直于直线y＝2x. (1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

1a1

解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，

13

由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝2x知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝54.

x53

(2)由(1)知f(x)＝4＋4x－ln x－2(x>0). x2－4x－5

则f′(x)＝4x2. 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 但－1?(0，＋∞)，舍去.

当x∈(0，5)时，f′(x)<0；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点二 证明(判断)函数的单调性

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