完全平方公式和平方差公式专项训练

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完全平方公式与平方差公式专项训练

一、基本概念：

1．平方差公式：

(a?b)(a?b)?a2?b2 2．完全平方公式： ababb(a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)2?a2?2ab?b2

3．完全平方公式重要变形：

2a2?b2?(a?b)?2ab

2a2?b2?(a?b)?2ab

2bbaaabab?a?b?1ab?[(a?b)2?(a?b)2]

4注：将a+b、a-b、ab看做整体进行变形，巧解问题 4．配方法：

逆用完全平方公式，化为完全平方式；

关键点：寻找a2、2ab、b2这三项中部分项；

增添项：增添某些项，使之凑成完全平方；中间项注意考虑多解．

?(a?b)2?4ab

二、强化练习：

1．下列多项式中可以用完全平方公式计算的是（ ）

A．(a?2b)(2a?b) B．(a?2b)(?2b?a) C．(?a?2b)(?2b?a) D．(a?2b)(2b?a)

2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A．m2?m?

1

1 B．a2?b2 C．a2?2ab?b2 D．?25?a2 4

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3．已知a2?4a?b2?2b?5?0，求a，b的值．

4．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）102?98； （2）992；

（3）100.22； （4）992?199；

（5）(5?a)2； （6）(?3m?4n)(3m?4n)；

（7）(a?b?2c)(a?b?2c)； （8）(a?2b?3c)2．

（9）?(?2a?3b)(4a?6b)； （10）(2m?1)(2m?1)(4m2?1)?．

5．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2?12ab?（ ），你觉得这一项应是________．

2

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6．材料：

一般地，对于任意的a、b，由多项式的乘法法则可以得到(a?b)2?(a?b)(a?b)?a2?ab?ab?b2?a2?2ab?b2

； (a?b)2?a2?2ab?b2即“完全平方公式”

又比如：(a?b)2?[a?(?b)]2?a2?2a(?b)?b2?a2?2ab?b2 计算：

（1）小聪在进行整式乘法练习时，发现了如下的立方和公式：(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 ①利用乘法法则，帮小聪写出立方和公式的推演过程；

②根据因式分解与整式乘法之间的互逆关系，写出因式分解的立方和公式：____________________； （2）请模仿材料中的“转换”方法，分解因式：a3?8．

7．数形结合是一种重要的数学思想，借助这种方法我们可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，初中数学里的代数公式，有很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证，例如完全平方公式．下面我们进行类似的探究：

（1）如图，是用4个全等的长方形拼出的“回”字图案，

将图形中的阴影部分的面积用两种方法表示，可以得 到一个等式，这个等式为_______________________； （2）若(3x?2y)2?5，(3x?2y)2?9，利用上面的结论求xy的值．

9．利用完全平方公式，可以将多项式ax2?bx?c(a?0)变形为a(x?m)2?n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项ax2?bx?c式的配方法．

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

11111125115115例如：x2?11x?24?x2?11x?()2?()2?24?(x?)2??(x??)(x??)?(x?8)(x?3)

22242222根据以上材料，解答下列问题：

（1）用配方法将多项式x2?3x?10化成(x?m)2?n的形式； （2）用配方法及平方差公式对多项式x2?3x?10进行分解因式；

（3）求证：不论x，y取任何实数，多项式x2?y2?2x?4y?16的值总为正数．

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8．如果x2?2(k?3)x?1是一个用完全平方公式得到的结果，则k的值是________．

10．若三项式4a2?2a?1加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出所有满足题意的单项式

___________________________________________________________．

11．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状

拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

①______________________________； ②______________________________．

（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?

(m?n)2，(m?n)2，mn．

（4）运用你所得到的公式，计算若mn??2，m?n?4，求(m?n)2的值． （5）求代数式x2?2x?y2?4y?7的最小值．

12．请你计算：(1?x)(1?x)，(1?x)(1?x?x2)，…，猜想(1?x)(1?x?x2? ?xn) 的结果是_________．

13．已知a?b?3，a?b??1，求：（1）a2?b2的值；（2）ab的值．

4

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14．（1）填空：

(a?b)(a?b)?________；

(a?b)(a2?ab?b2)?________； (a?b)(a3?a2b?ab2?b3)?________．

（2）猜想：

（其中n为正整数，且n≥2）． (a?b)(an?1?an?2b? ?abn?2?bn?1)?________．

（3）利用（2）猜想的结论计算：29?28?27? ?23?22?2．

15．观察下列各式及其展开式：

(a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 (a?b)4?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4 (a?b)5?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5

………

请你猜想(a?b)10的展开式第三项的系数是________．

16．若a?b?1，则代数式a2?b2?2b的值为________．

17．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，

从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______．

18．算式999032?888052?777072之值的十位数字为________． 19．定义

a bc da bc dx?1 10 x?1为二阶行列式．规定它的运算法则为?ad?bc．那么当x?1时，二阶行列式的

值为________．

20．填空：x2?10x?________?(x?________)2．

21．已知a＞b，如果

113??，ab?2，那么a?b的值为________． ab25

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