第四节 行列式按行(列)展开
内容分布图示
★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4 ★ 返回
内容要点：
一、行列式按一行(列)展开
定义1 在n阶行列式D中,去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n?1阶行列式,称为D中元素aij的余子式, 记为Mij, 再记
Aij?(?1)i?jMij
称Aij为元素aij的代数余子式.
引理 一个n阶行列式D , 若其中第i行所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即
D?aijAij
定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n),
或 D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n).
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,i?j,
或 a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0,i?j.
综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:
?D,当i?j,?akiAkj?D?ij??0,当i?j; 或 k?1??1,其中，?ij???0,i?ji?jn?aikAjk?D?ij??0,k?1n?D,当i?j,?当i?j.
二、行列式的计算
直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
三、拉普拉斯定理
定义2 在n阶行列式D中,任意选定k行k列(1?k?n), 位于这些行和列交叉处的k2个元素,按原来顺序构成一个k阶行列式M, 称为D的一个k阶子式,划去这k行k列, 余下的元素按原来的顺序构成n?k阶行列式,在其前面冠以符号(?1)i???i?j???j,称为M的代数
1k1k余子式,其中i1,?,ik为k阶子式M在D中的行标,j1,j2,?,jk为M在D中的列标.
注：行列式D的k阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n阶行列式D中, 任意取定k行(列)(1?k?n?1),由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.
例题选讲:
10?1314110. 135102?5例1 设有5阶行列式: D?3?2?100213?12?541?2?110(1)a11?1,其余子式M11?,其代数余子式
02133?151A11?(?1)1?1M11?(?1)2M11?M11.
(2)a34?1,其余子式M3410?010?12?5023?111, 其代数余子式 31A34?(?1)3?4M34?(?1)7M34??M34.
例2求下列行列式的值:
2（1）?1?132132741 （2）052
021212341012. 例3 (讲义例1) 试按第三列展开计算行列式D?3?1?10120?512341012. 例4(讲义例2) 计算行列式 D?3?1?10120?553?1172例5 (讲义例3) 计算行列式 D?0?230?4?1023205210. 4050111例6 (讲义例4) 求证 121xx321x4321?n?n?1?n?2?n?3?(?1)n?1xn?2.
?21?????1xxx?1xxx?例7 (讲义例5) 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1x12Dn?x1?n?1x11x22x2?n?1x21xn2??(xi?xj), xnn?i?j?1?n?1?xn???其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
3?521110?5, D中元素aij的余子式和代数余子式依次记例8 (讲义例6) 设D??13132?4?1?3作Mij和Aij,求A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41.
21例9 (讲义例7) 用拉普拉斯定理求行列式
003210032100 的值. 32a??ac?2nbbd?例10 (讲义例8) 计算2n阶行列式D2n?.(其中未写出的元素为0).
cd???????????
课堂练习
31?12?513?4. 1. 计算行列式 D?201?11?53?3112.讨论当k为何值时
001k0001k200?0. 2k123?n120?03.设n阶行列式 Dn?103?0,求第一行各元素的代数余子式之和
?????100?nA11?A12???A1n.
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库04 第四节 行列式按行（列）展开在线全文阅读。
相关推荐：