2013年中考数学压轴题预测参考试题（试题及解答）(2)

2013年中考数学压轴题预测参考试题

“函数与几何”综合题探究类型——数型结合压轴题探究

【侧重运动观点考察，存在性问题，分类讨论思想是命题的热点也是焦点】

【B】已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，

】

连结AD、BD、BE。

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中 ．．．．．．．．．．．．．．．． 的两对相似三角形。_____________，_____________。 (2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上 建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线y?ax?2ax?3a(a?0) 经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。 ②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P： 过点P做PN⊥x轴于N， 使得△PAN与△OAD相似？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 解：如图所示：

（1）△OAD∽△CDB ，△ADB∽△ECB……………4分 （2）①（1，－4a）…………1分 ②∵△OAD∽△CDB ，∴

2DCCB……………1分 ?OAOD ∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）………2分 又∵OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1， ∴

1?a ∴a2?1 ∵a?0 ∴a??1 ??3a3 ∴抛物线的解析式为：y??x2?2x?3……………………2分

③存在，设P（x，－x2+2x+3）

∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，∴ PN=AN 当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)， ∴P（－2，－5）……………2分

当x>0（x>3）时，x－3= －(－x2+2x+3)， x1=0，x2=3(都不合题意舍去) …………1分 ∴ 符合条件的点P为（－2，－5）………………………………………………1分

2013年中考数学压轴题预测参考试题【一题多问——同题异构】

“函数与几何”综合题探究类型——数型结合压轴题探究

【侧重运动观点考察，存在性问题，分类讨论思想是命题的热点也是焦点】

【C】已知如图：抛物线y?ax?2ax?3a(a?0) 与x轴的一个交点为点A，与y轴交于点E，点B为其顶点，点P(t,at?2at?3a)在抛物线上设点，以AB为直径的⊙D与y轴交于点E、点F，连结AE、BE、BF。

22（1） 在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图中的两对相似三角形。_____________，_____________； ．．．．．．．．．．．．．．．．（2） 直接写出下列点的坐标：A（ ， ）、B（ ， ）、D（ ， ）、E（ ， ）、F（ ， ）， ．．

求tan∠ABF的值和抛物线的解析式；

（3） 求过点E且与⊙D相切的切线解析式l:y?kx?b；

Y （4） 是否存在点G（-1，g）,使得⊙H与直线AB和x轴都相切？ 若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由；

x??1（5） 若点M以每秒m个单位的速度，从点A出发，沿射线AE方向运动， 若点N以每秒n个单位的速度，从点A出发，沿射线AB方向运动， A 点M、N同始同终运动，问是否同时存在点M、N，,使得△AMN与 △ABE相似？若存在，求出m:n的值；若不存在，说明理由； O F X （6） 是否存在点P（t > - 3）,使得△ABP是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

?DP?B 【C】图 E C （7） 是否存在点P,使得△ABP是Rt△？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（8） 是否存在点P,使得△ABP的面积是△ABC面积的4倍？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（9） 是否存在点G（-1，g）,使得△ADG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由； （10） 是否存在点G（-1，g）,H(h,0),使得以A、D、G、H为顶点的四边形的周长最小？

若存在，求出点G、H的坐标和其最小的周长；若不存在，说明理由；

（11） 过点P做PQ⊥ x轴于Q，是否存在点P,使得△PAQ与△OAE相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（12） 过点P做PT⊥直线BC于T，PT交x轴 Q，将△CPT沿着CP翻转180°得到△CPL，是否存在点P, 使

得点L恰好在x轴？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（13） 是同时否存在点G（-1，g）和点P, 使得以A、E、G、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点

G、P的坐标；若不存在，说明理由；

（14） 是同时否存在点G（-1，g）和点P, 使得以A、E、G、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点G、P

的坐标；若不存在，说明理由； ??

Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用1 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用3 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用5 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用2 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用4 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用6

Y x??1A O F X ?DP?B 第 题图 E N?

C XA(4,?3)EG

O

25．【提升类型】已知如图：在平面直角坐标系XOY中，?ABC的顶点坐标分别为A（2t,-3t）、

B(2t,0)、C(?2t,0).

(1)画出?ABC绕点A顺时针90?所得的?AB?C?（点C?与C对应）和 逆时针旋转?ACB的度数所得的?AB??C??（点B??与B对应）； Y (2)是否存在t的值，使得点C、B??、B、C?在 同一条抛物线c上？若存在，求出t的值和 抛物线c的解析式；若不存在，请说明理由。 (3)点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的 对称轴上的一点，问：是否同时存在点P、Q， 使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？

C???C(?2t,0)OB(2t,0)C???B??A（2t,-3t）X?B?第25题图 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）右图是所求做的图形；

13（2）由旋转可得：C?(5t,t),B??(t,?t)，

55设经过C?(5t,t),B(2t,0),C(?2t,0)的抛物线为y?a(x?2t)(x?2t) ，t?a(5t?2t)(5t?2t)， 解得： a?11133111，y?(x?2t)(x?2t)；将B??(t,?t)代入得：?t?(t?2t)(t?2t)， 21t21t55521t55解得：t?35； （3）

①如图，已知PA、PB为⊙O的弦,点C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系，并证明。

②如图，已知PA、PB为⊙O的弦,点C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系，并证明。

①关系式是AE=PE - PB。

FE?A??P?BC?D?P??E?E??O?BA??O?D?第 ①题 C第 ② 题 证：连接DB 交AP于点F, ?弧AC=弧BC, ?∠ADC=∠BDC, 连接AD， ?DC⊥PA ，? ∠DAE=∠DFE，

?△DAF是等腰三角形，?AE=EF，?∠B和∠A对应 同一个弧 ?∠B=∠A=∠DFE=∠PFB, ?△PFB是等腰三角形。?PB=PF，?PE=PF+FE=AE+PB ∴AE=PE - PB

②关系式是AE=PE + PB。

证：延长AP与DB交于点F，?弧AC=BC ?∠EDA = ∠EDF ，?DE⊥AF于E，?∠FAD=∠F ，

?AE=EF ，连PD ，∠FBP=∠BDP +∠BPD ，?∠BDP对应的是弧BP ，∠BPD对应的弧是BD ，

弧BD + 弧BP =弧PD，而弧PD对应的角是∠FAD，? ∠FAD=∠F ，?∠F= ∠PBF， ?△PBF是等腰三角形。?PB=PF

?AE=EF=EP+PF=EP+PB，即：AE=PE+PB

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