奥数答案4 - 图文(4)

12、迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？

分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；

这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。 13、□2＋□2=□2，□2＋□2＋□2=□2＋□2

在上面两个算式的各个方框中填入1至9中的不同自然数，使这两个等式成立。那么第二个等式两端的结果是多少？

分析：最直接的办法，写出1~9的平方数，并首先确定第一个：3^2+4^2=5^2， 这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117。

14、已知A，B，C，D，E，F，G，H，L，K分别代表0至9中的不同数字，且有下列4个等式成立： K个H

D－K×L=F，E×E=HE，C÷K=G，H×H×??×H=B，求A+C。

分析：考察4个算式，首先可以发现第二个为：5×5=25，或6×6=36； 如果是5×5=25，则E=5、H=2；

再看第4个算式，只能是：2×2×2=8，于是K=3、B=8；

再看第三个算式，这是可以发现已经不行了。这样第二个就只能是6*6=36，于是：E=6、H=3；

再看第4个算式，只能是：3×3=9，于是K=2、B=9； 再看第三个算式，应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4； 最后看第一个算式，只有7-2×1=5，于是：D=7、L=1、F=5； 那么，A=0，A+C=8。

15、已知a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的8个不同数字，并且a≠0，e≠0，还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两个四位数abcd与efgh之和的最大值是多少？最小值是多少？

分析：分析发现，c只能是9，g只能是0；那么，最大时：8497-6503=1994，最小时：

3496-1502=1994；

所以，两数之和最大为：8497+6503=15000，最小为：3496+1502=4998

组合问题 构造与论证

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1、有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？

分析：可以。（1）标3条刻度线，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整数），那么，A，B，C，9这4个数中，大减小两两之差，至多有6个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9这9个不同的数。（2）例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，6-1=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，还可以标出1，4，7这3个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。另外，与1，2，6对称的，标出3，7，8；与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。

2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。问这6个三位数分别是多少？

分析：6个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3个数百位是1，另外3个数百位数是2。百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；百位是2的3个数同样。这样先保证前两位没有完全一样的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5个数个位均小于4。114 12*较小，个位应取3，它要求前两位能吃12*的数，个位小于3。123 13*个位取2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*的数个位小于2。132 21*较小，个位应取3，才能不被23*和22*吃。213 22*个位取2即可。222 23*各位必须取1。231 所以这6个数是114，123，132，213，222，231。

3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？

分析：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有4种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不一定能选出。

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4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，

那么最少有多少条边是白色的？

分析：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。如图就是一种。

5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几

个皇后？

分析：2×2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盘，中心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放2个皇后。如图所示。

6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？

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分析：设第二行从左到右填入A，B，C，D，E，

则A+B+C+D+E=5 若E大于0，如E=1，则B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，A大于0小于4； 若D大于0，如D=1，则B大于0，因A大于0，则A和C无法填写，所以D=0，A必等于2； A=2，可知B+C=3，只有当B=1，C=2时，ABCDE=21200，符合要求。 所以第二

行的5个数字是2，1，2，0，0。

7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

分析：给100个人分别编号1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。 （1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1，50号得到1-50号消息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51，100号得到51-100号消息。 （2）1号和51号通1次电话，50号和100号通1次电话，这时1，50，51，100号这4个人都知道了1-100号消息。 （3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50，51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。 这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。 8、有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个3×4小长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？

分析：能。3×4=12，有4红8蓝，即红1蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。

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9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，??，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？

分析：可以。 按要求一共翻动1+2+3+??+1993=1993×997，平均每个硬币翻997次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。因为：1993×997=1993+（1992+1）+（1991+2）+??+（997+996） 所以，可以这样翻动： 第1次翻1993个，每个全翻1次； 第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍； 第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第1991次，??，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。这样每个都翻动了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。

10、能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，??，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？

分析：不能。 假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数。1+2+3+??+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。

11、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？

分析：不能。 假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。

12、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。

分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99枚真币的重量，说明伪币数为偶数。 如果拿出1个真币，剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。 如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。

所以，只要把98个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。

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