北京市石景山区2010年高三统一测试(3)

x?1p?(0,??)， ?h(x)1min?p?p, 只需p?1p?0,即p?1时， h(x)?0,f?(x)?0

?f(x)在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是?1,???3）?g(x)?2ex在[1,e]上是减函数， ?x?e时， g(x)min?2;

x?1时,g(x)min?2e，

即g(x)?[2,2e] 1分

①当p?0时，h(x)?px2?2x?p 其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1p在y轴的左侧， 且h(0)?0，所以f(x)在x?[1,e]内是减函数。 当p?0时，在h(x)??2x 因为x?[1,e]， 所以h(x)?0,f?(x)??2xx2?0. 此时，f(x)在x?[1,e]内是减函数。 故当p?0时，f(x)在x?[1,e]上单调递减

?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；

②当0?p?1时，由x?[1,e]?x?1x?0 所以f(x)?p(x?1)?2lnx?x?1xx?2lnx. 又由（2）知当p?1时，f(x)在x?[1,e]上是增函数，

6分

（

?x?111?2lnx?e??2lne?e??2?2，不合题意； 11分 xee③当p?1时，由（2）知f(x)在x?[1,e]上是增函数，

f(1)?0?2

又g(x)在x?[1,e]上是减函数， 故只需f(x)max?g(x)min,x?[1,e]

而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne,g(x)min?2 即P(e?)?2lne?2, 解得p?1e1e4e， e2?14e,??)。 13分 2e?1所以实数p的取值范围是(注：另有其它解法，请酌情给分。

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