北京市石景山区2010年高三统一测试(2)

?CB?CA?|CB|?|CA|?cosC?1?2?33?. 13分 4216．（本题满分13分） 解：（1）X的取值分别是：0分，1000分，3000分 3分 （2）由已知得，转动A盘得到积分的概率为

转动B盘得到积分的概率为

1， 21 5分 4设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分，则有

11?, 6分 22113P(X?1000)??(1?)?， 7分

248111P(X?3000)???. 8分

2481316000?EX?0??1000??3000??. 9分

28883同理：P(Y?0)? 10分

41P(Y?2000)?, 11分

81P(Y?3000)?. 12分

83115000?EY?0??2000??3000??.

4888P(X?0)?1? 故先转A盘时，赢得积分平均水平较高。 13分

17．（本题满分14分）

（1）证明：?三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

?BB1?平面ABC

又?CF?面ABC， ?CF?BB，1分

??ACB?90°，AC=BC=2，F是AB中点 ?CF?AB 2分

又?BB1?AB?B, 3分

?CF?平面ABB1。 4分

（2）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG

?F,G分别是棱AB、AB1中点， ?FG//BB1,FG?1BB1 21又EC//BB1,EC?BB1

2?FG//EC,FG?EC

?四边形FGEC是平行四边形，6分

?CF//DG. 7分

?CF?平面AEB1，EG?平面AEB1 8分

?CF//平面AEB1。 9分

（3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x,y,z轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz.

则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4） 10分

?设E(0,0,m)，平面AEB1的法向量n?(x,y,z)

?????????则AB1?(?2,2,4),AE?(?2,0,m) ?????????????且AB1?n,AE?n

??????????AB1?n??2x?2y?4z?0,于是???? ????AE?n??2x?0y?mz?0mz?x?,??2所以?

?y?mz?4z??2

?取z?2,则n?(m,m?4,2) 12分

?三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

?BB1?平面ABC，

又?AC?平面ABC

?AC?BB1

??ACB?90? ?AC?BC

?BB1?BC?B.

?AC?平面ECBB1 ?????CA是平面EBB1的法向量，

????CA?(2,0,0)

二面角A—EB1—B的大小是45°，

?????CA?n2m2????则cos45????? 13分

2222|CA|?|n|2?m?(m?4)?2解得m?

5. 2?在棱CC1上存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°。

5此时CE?. 14分

218．（本题满分13分）

（1）解：?a1?3,an??an?1?2n?1(n?2,且n?N*)

?a2??a1?4?1??6. 2分 a3??a2?6?1?1. 4分

（2）证明：

?an?n(?an?1?2n?1)?n?an?1?n?1????1.

an?1?(n?1)an?1?n?1an?1?n?1

?数列{an?n}是首项为a1?1?4，

公比为-1的等比数列。 7分

?an?n?4?(?)n?1，

即an?4?(?1)n?1?n,

?{an}的通项公式为an?4?(?1)n?1?n(n?N*)

（3）解：?an?4?(?1)n?1?n(n?N*)

所以当n是奇数时，

1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n?8). 10分

2k?1k?1当n是偶数时，

nn1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n). 12分

2k?1k?1?12?(n?n?8),n是正奇数,??2综上，S?? 13分

?-1(n2?n),n是正偶数,??2nn

19．（本题满分14分）

解：（1）设椭圆的半焦距为c，

?c6?,?依题意?a3

?a?3?解得c?22

2

2由a?b?c,得b?1. 2分

x2?所求椭圆方程为?y2?1. 3分

3

（2）?m?k,?y?kx?k?k(x?1)

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?x22??y?1其坐标满足方程?3

?y?(kx?1)?消去y并整理得

(1?3k2)x2?6k2x?3k2?3?0, 4分

则??(6k2)2?4(1?3k2)(3k2?3)?0（*） 5分

?6k23k2?3,x1?x2?故x1?x2? 6分 221?3k1?3k

?AO?OB?0

?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?1)?(kx2?1)

?(1?k2)x1x2?k2(x1?x2)?k2

3k2?32?6k2k2?32?(1?k)?k??k?2?0

1?3k21?3k23k?12

?k??3 经检验?k??3满足式（*）式 8分

（3）由已知

2|m|1?k2?3， 2

可得m?32(k?1) 9分 4将y?kx?m代入椭圆方程，

整理得(1?3k)x?6kmkx?3m?3?0.

222??(6km)2?4(1?3k2)(3m2?3)?0(*)

?6km3m2?3?x1?x2?,x1?x2?. 10分 221?3k1?3k

36k2m212(m2?1)?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[2?] 2(3k?1)3k?12222

12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)?? 11分 222(3k?1)(3k?1)

12k2?3?4?3?9k?6k2?11， k21212?3??4(k?0) 12分 12?3?69k2?2?6k

当且仅当9k?2

即k??3时等号成立， 33满足（*）式 3

经检验，k??

当k?0时，|AB?3 综上可知|AB|max?2.13分

?当|AB最大时，?AOB的面积最大值S?133 14分 ?2??22220．（本题满分13分）

解：（1）当p?2时， 函数f(x)?2x?2?2lnx,f(1)?2?2?2ln1?0 x22f(x)?2?2?

xx曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为

f1(1)?2?2?2?2. 1分

从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y?0?2(x?1),

即y?2x?2

p2px2?2x?p. 3分 （2）f?(x)?p?2??2xxx

2令h(x)?px?2x?p，要使f(x)在定义域（0，∞）内是增函数

只需h(x)?0在（0，+∞）内恒成立 4分

由题意p?0,h(x)?px?2x?p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

2

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