（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费 为：
1 3（035+0.5315+0.9310+1.2330+1.4325+1.1315）=1.1（元）， 100所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为：500031.1=5500（元）， 因为5500<5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利. 24．如图，矩形ABCD中，AB?6,AD?8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形
PEFD为矩形．
（Ⅰ）若?PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）若AP?2，求CF的长．
[www%.zz@s&t~ep.co^m]【答案】（Ⅰ）AP的长为4或5或【解析】
3214；（Ⅱ）CF= 45试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；
（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明△ADP∽△CDF，从而得
32CFCD3 . ?? ，由AP=2 ，从而可得CF=4APAD4试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC==10；
要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：
AD2?DC2
（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；
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（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=
AC ，即AP=5； 2
11 AD2DC= AC2DQ，22AD?DC24183614∴DQ= ，∴CQ=DC2?DQ2? ，∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= . ?AC555514综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；
5（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=
（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，
点睛：本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确地分情况进行讨论是判定△PCD要等腰三角形的关键.
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25．已知直线y?2x?m与抛物线y?ax?ax?b有一个公共点M(1,0)，且a?b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若?1?a??21，求线段MN长度的取值范围； 2来源%^:@*中教网&]（ⅱ）求?QMN面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-
19a，-）；（Ⅱ）理由见解析；
24（Ⅲ）（i）55≤MN≤75.（ii）△QMN面积的最小值为【解析】
2792. ?42试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax+ax+b=ax+ax-2a配方得y=a(x+
22
129a19a)- ,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（- ，- ）.24242
2
来源中国教育出版网&]
（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax+ax-2a，可得ax+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.
11 交直线y=2x-2于点E，得 E（-，-3）， 2227327a2
从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM = ，即27a+(8S-54)a+24=0，（*） ??4a8（ii）作直线x=-因为关于a的方程（*）有实数根， 从而可和S≥
2792 ，继而得到面积的最小值. ?42试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x+
2
2
129a19a)- ,所以抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.
2424（Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=231+m，解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax+ax-2a，得ax+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△
=(a-2)-4a(-2a+2)=9a-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a
2
2
22
（ii）作直线x=--3），
又因为M（1，0），N（
111 交直线y=2x-2于点E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，22224-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0， aa所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM=
2
129a27327a?2? = ， ?2?1????3??????a44a8??即27a+(8S-54)a+24=0，（*）
来源:^@中教网&~%]因为关于a的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）-4327324≥0，即（8S-54）≥（362 ）
2
2
2
，
又因为a<0，所以S=
27327a27 > ,所以8S-54>0，所以8S-54>0， ??4a84所以8S-54≥362，即S≥
2792 ， ?42当S=
279222时，由方程（*）可得a=- 满足题意. ?42322422792，b =时，△QMN面积的最小值为. ?3342故当a=-
点睛：本题考查的二次函数的综合问题，能正确地应用待定系数法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等是解决本题的关键.
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