浅谈简化和避免分类讨论的解题方法

浅谈简化和避免分类讨论的解题方法

【摘要】：运用分类讨论的思想方法解题，可以化整为零，化复杂为简单，化全面解决为局部解决，这是我们解题的一个重要策略；但在有些情况下，其过程较为繁琐，对使用者的思维严谨性要求较高，因此也容易造成解题中的失误.故我们在掌握这一方法的同时，提倡克服思维定势，学会简化或避免分类讨论的一些解法，以达到方法上的优势互补.

【关键词】：分类讨论 思想方法 思维定势 回避讨论 解题方法 1.巧用公式，回避讨论

例1.已知cot??m,????,2??,求cos?的值. 分析：若选用公式tan??11来求，必须对????,2??分,cos???2cot?1?tan?两部分????,??3???3???和???,2??分别讨论cos?及m的符号；若根据????,2??的范2??2?围，直接选用恰当的平方关系式，则可有效地避开讨论.

【解析】∵????,2??，∴sin??0,∴sin???11?cot?2??11?m2,

故cos??cot??sin???m1?m2.

【能力提升】由于三角函数部分公式繁多，解题中要尽量避免由于角的条件去讨论三角

函数的符号，因此选择恰当的公式，可回避讨论，化繁为简.

2.引参换元，回避讨论

x2?1例2.解不等式?2.

2x?11?xx分析：本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况，若

我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程.

【解析】令x?tan?,????????,?，则原不等式可化为：2sin2??sin??1?0.，?22?解得???31??3?. ?,???sin??1,故-???,tan???,所以原不等式的解集为???2623?3?【能力提升】本例引入三角参数，转化为关于sin?的一元二次不等式，使问题大大地

简化，一般情况下，若引入参变量，作为揭示变量间的内在联系的媒介，能帮助对运动变化过程作出定量的刻画，消化难点，化难为易，因此解题中，尽可能地引入参变量.

3.分离参数，反客为主，回避讨论

例3.若函数y??x?1?log3a?6xlog3a?x?1在x??0,1?内恒正，求a的取值范围.

2分析：本题若用条件y?0,即?x?1?log3a?6xlog3a?x?1?0在x??0,1?内恒成

2

立，解关于a的不等式，再利用0?x?1，求a的取值范围，运算十分复杂，若将

y??x?1?log3a?6xlog3a?x?1看成直线，则可得如下简捷的解法.

2【解析】f?x??log3a?6log3a?1x?log3a,因为函数y?f?x?在x??0,1?内恒

22??正，所以f?x?表示的线段AB恒在x轴上方，即两端点在x轴上方.

?f?0??0,?1?log3a?0,?1?∴?f?1??0,即??6log3a?2?0,∴?a?33.

3?a?0,?a?0,??2【能力提升】本题通过变换主元，避免了复杂的分类讨论及繁琐的运算，同时，又把曲线问题转化成直线问题，不仅避免了分类讨论，又使“考察对象”简单化了，值得很好地借鉴.一般在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变元函数，从而分离参数，反客为主，接下去需解有关主变元函数的有关问题，往往可以回避讨论.

4.消除参数，回避讨论

例4.设0?x?1,a?0,a?0,试比较

loga?1?x?与loga?1?x?的大小.

分析：一般情况下比较大小我们采用作差??loga?1?x??loga?1?x?，对底数a的取值范围加以讨论脱去绝对值符号，因a是讨论因素，若能消去参数a，则可避免讨论，何乐而不为呢！为此作商，运用换底公式，可得到明显的效果.

【解析】∵

loga?1?x?loga?1?x??log?1?x??1?x???log?1?x??1?x??log?1?x?1, 1?x又∵0?x?1时，

11?1?x,∴log?1?x??log?1?x??1?x??1, 1?x1?x∴loga?1?x??loga?1?x?.

【能力提升】这里用“消参法”避免了分类讨论，使问题简单了，此类方法是解题的“高

层次”方法，需要在平时解题中加强观察、总结和训练.

5.整体化归，回避讨论

例5.若函数f?x??ax?loga?x?1?在?0,1?的最大值与最小值之和为a，求a的值. 分析：指数函数与对数函数的底都是待定参数a，一般情况下会想到用分类讨论的方法求解，但若注意到两个函数具有相同的单调性，那么它们的最大值总是在一个闭区间的两个不同端点处取得，由此出发可以避开讨论.

x【解析】∵a与loga(x?1)有相同的增减性，∴f?x?是给定区间上单调函数. 0由a?loga1?a?loga?1?1??a得loga2??1，∴a?1. 2【能力提升】将数学问题分成若干问题，逐个击破，分而治之固然重要，但有时若能有意识的放大看问题的视线，将问题视为整体，去研究整体的形式与结构，可能会起到意想不

到的效果.

6.数形结合，回避讨论

例6.已知集合A?x|lgx2?2ax?a2?1?lg2，B??x|?x?a??x?2??0?,若

????A?B?R,求a的范围.

分析：易求A??a?1,a?1?但求B及处理A?B?R时，要对a的值讨论，若令

f?x???x?a??x?2?利用数形结合的方法要简单的多.

【解析】按照不等式知识须分a?0,a?0,a?0分类讨论求出集合B，而用数形结合来解就不必讨论.

由A?x|lgx2?2ax?a2?1?lg2，解得A??a?1,a?1?.

令f?x???x?a??x?2??0，不论y?f?x?的??0,??0,??0,由A?B?R?

?????f?a?1??0?1?a?3. ???fa?1?0?【能力提升】利用函数图像、几何图形的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的

结合起来，有时也可以回避问题的讨论.

7.巧用补集思想，不正则反，回避讨论

例7.如果二次函数y?mx??m?3?x?1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右

2侧，试求m的取值范围.

分析：若从正面求解，必须要对“两交点均在原点右侧”，“一个交点在原点右侧另一个交点在原点左侧”等情况进行分类讨论了；若从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点左侧时的m取值范围，问题就简单了.

【解析】由一元二次方程mx??m?3?x?1?0有两负根得：

2?????m?3?2?4m?0,?m?9或m?1,??3?m??0,??m?0或m?3,?m?9, ??m?m?0??1?0??m取其补集得m?9，且必须满足??0与m?0，故二次函数图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围为m?1且m?0.

【能力提升】有些问题，分类讨论比较麻烦，若用补集法去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，结合集合性质A?CUA?U,可以将题目化难为易，

化繁为简，开拓解题思路.

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