全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP?DQ?m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1 ∵抛物线过原点， ∴0?a(0?2)2?1 ∴a??1.
4A
x
O C y B 抛物线的解析式为
1y??x2?x
41y??(x?2)2?14,即
OyABx
⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平∥OB, 行四边形时,CD＝
由0??1(x?2)2?1得x1?0,x2?4,
4- 六 -
C图1 D
∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6
将x＝6代入y??1(x?2)2?1,得y＝－3,
4∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP
的解析式为y??1x
2
OA'yABEx图2 P由?1x??1x2?x,
24得x1?0,x2?6 .∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝
13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
- 七 -
所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
练习1、解：（1）由已知可得：
?3a?3b?3?25353?75 解之得，a??，b?，c?0． a?b?0?332?4?c?0?因而得，抛物线的解析式为：y??2x2?5333x．
（2）存在．
设Q点的坐标为(m，n)，则n??2m2?5333m，
2533?m2?mBQPBm?33?nm?333要使△OCP∽△PBQ,?，则有，即 ??CPOC3333解之得，m1?23，m2?2．
3，2)
当m1?23时，n?2，即为Q点，所以得Q(22533?m2?mBQPBm?33?nm?333?要使△OCP∽△QBP,?，则有，即 ?OCCP3333解之得，m1?33，m2?3，当m?3时，即为P点，
- 八 -
当m1?33时，n??3，所以得Q(33，?3)．
故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．
Q点的坐标为(23，，2)(33，?3)．
（3）在Rt△OCP中，因为tan?COP?CP?OC3．所以?COP?303．
当Q点的坐标为(23，2)时，?BPQ??COP?30．
所以?OPQ??OCP??B??QAO?90．
△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形． 因此，△OPC，又在Rt△OAQ中，因为tan?QOA?QA?AO3．所以?QOA?303．
即有?POQ??QOA??QPB??COP?30． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OA?POQ??AOQ?30， 所以△OQA≌△OQP． 练习2
解：（1）△OCD与△ADE相似。
理由如下：
由折叠知，?CDE??B?90°，
∴?1??2?90°，?1??3?90，??2??3.
O C 3 E 1 图1
2 D A x y B 又∵?COD??DAE?90°，
∴△OCD∽△ADE。
- 九 -
（2）∵tan?EDA?则AD=4t。
y AE3?AD4，∴设AE=3t，
由勾股定理得DE=5t。
l C N M G E P D A x B ∴OC?AB?AE?EB?AE?DE?3t?5t?8t。 由（1）△OCD∽△ADE，得OC?CD， O ADDE∴8tCD?， 4t5t∴CD?10t。
在△DCE中，∵CD2?DE2?CE2，
F ∴(10t)2?(5t)2?(55)2，解得
∴OC=8，AE=3，点
t=1。
图2
C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，
1??10k?b?3，?k??，解得?∴?2
b?8，???b?8，1∴y??x?8，则点
2P的坐标为（16，0）。
（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，
y=2x－12。
- 十 -
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